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本ページでは…
本ページでは、アンペールの法則からビオ-サバールの法則
\begin{align*}d\boldsymbol H=\frac{I}{4\pi}\frac{d\boldsymbol l×\boldsymbol r}{\vert\boldsymbol r\vert^3}\end{align*}
を求める。
前ページまで…
前ページでは、アンペール力が
\begin{align*}\boldsymbol F=-\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi}\frac{\boldsymbol r}{\vert \boldsymbol r\vert^2}\end{align*}
であることを確認し、磁場\(\boldsymbol H\)と磁束密度\(\boldsymbol B\)の定義
\begin{align*}\int_C\boldsymbol H\cdot d\boldsymbol l&=I_{\text f}\\\boldsymbol F&=I\boldsymbol l×\boldsymbol B\end{align*}
から導かれることをみた。
内容
ビオｰサバールの法則
向きが方向単位ベクトル\(\boldsymbol l\)である｢無限に長い直線導線｣に電流\(I\)が流れるとき、導線から方向ベクトル\(\boldsymbol a\)(\(\boldsymbol l\perp\boldsymbol a\))の位置の磁場\(\boldsymbol H\)は
\begin{align*}\boldsymbol H=\frac{I}{2\pi}\frac{\boldsymbol l×\boldsymbol a}{\vert\boldsymbol a\vert^2}\tag{1}\end{align*}
となり、この法則をアンペールの法則と呼んだ(前のページを参照)。一方、向きが方向ベクトル\(d\boldsymbol l\)である｢微小長さの導線｣に電流\(I\)が流れるとき、導線から方向ベクトル\(\boldsymbol r\)の位置に作る磁場\(\boldsymbol H\)は
\begin{align*}d\boldsymbol H=\frac{I}{4\pi}\frac{d\boldsymbol l×\boldsymbol r}{\vert\boldsymbol r\vert^3}\tag{2}\end{align*}
となり、この法則をビオ-サバールの法則と呼ぶ。
ビオ-サバールの法則の導出
ビオ-サバールの法則はアンペールの法則から導出できる。
初めに、磁場の大きさ\(H\)から考えてみる。原点を通り向きが方向単位ベクトル\(\boldsymbol l\)である｢無限に長い直線導線｣に電流\(I\)が流れるとき、導線から方向ベクトル\(\boldsymbol a\)(\(\boldsymbol l\perp\boldsymbol a\))の位置の磁場の大きさ\( H\)はアンペールの法則より
\begin{align*} H&=\frac{I}{2\pi}\frac{\vert\boldsymbol l×\boldsymbol a\vert}{\vert\boldsymbol a\vert^2}\\&=\frac{I}{2\pi}\frac{\vert\boldsymbol l\vert\vert\boldsymbol a\vert\sin90°}{\vert\boldsymbol a\vert^2}\\&=\frac{I}{2\pi\vert\boldsymbol a\vert}\tag{3}\end{align*}
となる。また、向きが方向ベクトル\(d\boldsymbol l\)である｢微小長さの導線｣に電流\(I\)が流れるとき、導線から方向ベクトル\(\boldsymbol r\)の位置に作る磁場の大きさ\(dH\)を\(f\)と仮定すると、原点を通り向きが方向単位ベクトル\(\boldsymbol l\)である｢無限に長い直線導線｣に電流\(I\)が流れるとき、原点から方向ベクトル\(\boldsymbol a\)(\(\boldsymbol l\perp\boldsymbol a)\)の位置に作る磁場の大きさ\(H\)は
\begin{align*}H&=\int_{-\infty}^\infty f\ dl\tag{4}\end{align*}
と表される。ここで、\(dl\)は無限に長い直線導線に沿った微小長さであり、微小長さから位置\(\boldsymbol a\)までの方向ベクトルが\(\boldsymbol r\)となる。そして、原点から微小長さまでの方向ベクトルを\(\boldsymbol l\)とすると、ベクトル\(\boldsymbol r\),\(\boldsymbol a\),\(\boldsymbol l\)は\(\boldsymbol a\perp\boldsymbol l\)となる直角三角形を作り、ベクトル\(\boldsymbol l\)と\(\boldsymbol r\)がなす角を\(\theta\)とすると次の関係
\begin{align*}\vert\boldsymbol r\vert&=\frac{\sin\theta}{\vert\boldsymbol a\vert}\tag{5}\\\vert\boldsymbol l\vert&=-\frac{\vert\boldsymbol a\vert}{\tan\theta}\tag{6}\\\frac{dl}{d\theta}&=\frac{\vert\boldsymbol a\vert}{\sin^2\theta}\tag{7}\end{align*}
が成り立つ。よって、式(4)は
\begin{align*}H&=\int_{-\infty}^\infty f\ dl\\&=\int_{0}^\pi f\ \frac{\vert\boldsymbol a\vert}{\sin^2\theta} \ d\theta\tag{8}\end{align*}
となる。式(3)と式(8)は等しくなるはずのため、式(3)を変形して式(8)に近づけると
\begin{align*}H&=\frac{I}{2\pi \vert\boldsymbol a\vert}\frac{1}{2}\left[-\cos\theta\right]^\pi_0 \\&=\frac{I}{4\pi \vert\boldsymbol a\vert}\int ^{\pi}_0 \sin\theta d\theta\\&=\frac{I}{4\pi }\int ^{\pi}_0 \frac{\sin\theta}{\vert \boldsymbol a\vert} d\theta\\&=\frac{1}{4\pi }\int ^{\pi}_0 \frac{I\sin\theta}{\vert\boldsymbol r\vert^2} \frac{\vert \boldsymbol a\vert}{\sin^2\theta}d\theta\\&=\frac{1}{4\pi }\int ^{\infty}_{-\infty} \frac{I\sin\theta}{\vert \boldsymbol r\vert^2}dl\tag{9}\end{align*}
となり、微小長さの導線が導線から方向ベクトル\(\boldsymbol r\)の位置に作る磁場の大きさ\(dH\)は
\begin{align*}f=\frac{I\sin\theta}{4\pi r^2}\end{align*}
となることが分かる。
最後に、磁場\(\boldsymbol H\)の向きは常にベクトル\(d\boldsymbol l\)とベクトル\(\boldsymbol r\)に垂直のため、磁場の向きである方向単位ベクトルは
\begin{align*}\frac{d\boldsymbol l×\boldsymbol r}{\vert d\boldsymbol l×\boldsymbol r\vert}=\frac{d\boldsymbol l×\boldsymbol r}{\vert d\boldsymbol l\vert\vert\boldsymbol r\vert\sin\theta}\tag{10}\end{align*}
となり、これを磁場の大きさに掛けると
\begin{align*} d\boldsymbol H=\frac{Id\boldsymbol l×\boldsymbol r}{4\pi r^3}\tag{11}\end{align*}
となって、ビオ-サバールの法則が導かれる。
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