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本ページでは…
本ページでは、複素場の理論における正準共役運動量\(\varPi\),\(\varPi^*\)が汎関数微分を用いて
\begin{align*}\varPi(t,\boldsymbol y)&=\frac{\delta L[\phi]}{\delta\partial_0\varPhi(t,\boldsymbol y)}\\\varPi^*(t,\boldsymbol y)&=\frac{\delta L[\phi]}{\delta\partial_0\varPhi^*(t,\boldsymbol y)}\end{align*}
と表すことができ、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)を用いると偏微分となって
\begin{align*}\varPi(t,\boldsymbol y)&=\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_0\varPhi(t,\boldsymbol y)}\\\varPi^*(t,\boldsymbol y)&=\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_0\varPhi^*(t,\boldsymbol y)}\end{align*}
となることを確認する。
前ページまで…
前ページでは、汎函数微分を用いた場の理論におけるポアソン括弧
\begin{align}\left\{A,B\right\}=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta A}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta B}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta A}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta B}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\end{align}
を定義し、ポアソン括弧を用いて正準方程式が
\begin{align}\partial_0 \phi(t,\boldsymbol y)&=\left\{\phi(t,\boldsymbol y),H\right\}\\\partial_0\pi(t,\boldsymbol y)&=\left\{\pi(t,\boldsymbol y),H\right\}\end{align}
と表されることを確認した。
内容
複素場の正準共役運動量
以前のページでは、場の理論における正準共役運動量\(\pi\)が汎関数微分を用いて
\begin{align*}\pi(t,\boldsymbol y)=\frac{\delta L[\phi]}{\delta\partial_0\phi(t,\boldsymbol y)}\tag{1}\end{align*}
と表すことができ、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)を用いると偏微分となって
\begin{align*}\pi(t,\boldsymbol y)=\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_0\phi(t,\boldsymbol y)}\tag{2}\end{align*}
となることを確認した。
場の正準共役運動量\(\pi\)と同様に複素場の正準共役運動量\(\varPi\),\(\varPi^*\)も求めることができ、汎関数微分を用いて
\begin{align*}\varPi(t,\boldsymbol y)&=\frac{\delta L[\phi]}{\delta\partial_0\varPhi(t,\boldsymbol y)}\tag{3}\\\varPi^*(t,\boldsymbol y)&=\frac{\delta L[\phi]}{\delta\partial_0\varPhi^*(t,\boldsymbol y)}\tag{4}\end{align*}
と表すことができ、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)を用いると偏微分となって
\begin{align*}\varPi(t,\boldsymbol y)&=\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_0\varPhi(t,\boldsymbol y)}\tag{5}\\\varPi^*(t,\boldsymbol y)&=\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_0\varPhi^*(t,\boldsymbol y)}\tag{6}\end{align*}
となる。
次ページから…
次ページでは、ルジャンドル変換から場の理論におけるハミルトニアン\(H\)
\begin{align*}H&=\int d^3\boldsymbol x\ \partial^0\phi\pi- L\end{align*}
を求める。また、汎函数微分を用いて表した場の理論における正準方程式
\begin{align*}\frac{\delta H}{\delta\phi(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\pi(t,\boldsymbol y)\\\frac{\delta H}{\delta\pi(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\phi(t,\boldsymbol y)\end{align*}
を求め、次の関係
\begin{align*}H=\int d^3\boldsymbol x\ \mathscr H\end{align*}
を満たすハミルトニアン密度\(\mathscr H\)を用いて場の理論における正準方程式が
\begin{align*}\frac{\partial \mathscr H}{\partial \phi(t,\boldsymbol y)}-\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\pi(t,\boldsymbol y)\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial \pi(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\phi(t,\boldsymbol y)\end{align*}
となることを確認する(\(i=1,2,3\))。
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