HOME ＞ 場の量子論 ＞ 複素スカラー場の量子論 ＞ 複素スカラー場の電荷と生成消滅演算子
スポンサーリンク
本ページでは…
本ページでは、生成消滅演算子を用いて電荷演算子\(\hat{\mathcal Q}\)が
\begin{align}\hat {\mathcal Q}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{q}{2}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})-\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\end{align}
と表されることを見て、正規順序をとると
\begin{align}\hat {\mathcal Q}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ q\left\{\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\end{align}
となることを確認する。
スポンサーリンク
前ページまで…
前ページでは、生成消滅演算子を用いてハミルトニアン\(\hat H\)と運動量演算子\(\hat{\boldsymbol P}\)が
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{E_{k}}{2}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{2}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\end{align}
と表されることを見て、正規順序をとると
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ E_k\left\{\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \boldsymbol{k}\left\{\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\end{align}
となることを確認した。
スポンサーリンク
内容
複素スカラー場の電荷と生成消滅演算子
以前のページで、複素スカラー場の電荷は
\begin{align*}\mathcal Q&=\int{d}^3\boldsymbol x\ iq(\varPhi^*\partial^0\varPhi-(\partial^0 \varPhi^*)\varPhi)\\&=\int{d}^3\boldsymbol x\ iq(\varPhi^*\varPi^*- \varPi\varPhi)\tag{1}\end{align*}
であったが、このまま第2量子化すると正規順序をとるときに発散量が現れるため、電荷\(\mathcal Q\)を次のように対称化
\begin{align*}\mathcal Q&=\int{d}^3\boldsymbol x\ \frac{iq}{2}(\varPhi^*\varPi^*+\varPi^*\varPhi^*- \varPi\varPhi-\varPhi\varPi)\tag{2}\end{align*}
する。後でわかるが、このように対称化することで、正規順序のときに発散量が現れない。式(2)の電荷\(\mathcal Q\)に複素スカラー場の第2量子化を行なうと電荷の演算子は
\begin{align*}\hat{\mathcal Q}&=\int{d}^3\boldsymbol x\ \frac{iq}{2}(\hat\varPhi^\dagger\hat\varPi^\dagger+\hat\varPi^\dagger\hat\varPhi^\dagger-\hat\varPi\hat\varPhi-\hat\varPhi\hat\varPi)\tag{3}\end{align*}
となる(演算子になる際に複素共役はエルミート共役になることに注意する)。
電荷\(\hat {\mathcal Q}\)を生成消滅演算子で表してみよう。次の関数\(f_k^\pm\)
\begin{align*}f_k^\pm&=\frac{e^{\mp i(E_\boldsymbol{k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\\&=(f_k^\mp)^*\tag{4}\end{align*}
を用いて表した複素スカラー場(前々ページを参照)
\begin{align}\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\tag{5}\\\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a_-(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\tag{6}\end{align}
を電荷の式(3)に代入すると第1項は
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{iq}{2}\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol{x})\hat\varPi^\dagger(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{q}{4} (-a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}-\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\tag{7}\end{align}
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{iq}{2}\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol{x})\hat\varPi^\dagger(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{iq}{2}\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\left\{\hat a_-(\boldsymbol{k})e^{-ik\cdot x}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})e^{ ik\cdot x}\right\}\\&\ \ \ \ ×\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k’}}}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k’})(-iE_{k’})e^{-ik’\cdot x}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})(iE_{k’})e^{ ik’\cdot x}\right\}\\&=\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{(2\pi)^3}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{E_{k’}q}{4\sqrt{E_kE_{k’}}} (-\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}})\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}\ \frac{E_{k’}q}{4\sqrt{E_kE_{k’}}}(-\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ +\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ +\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’}))\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{q}{4} (-a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}-\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\end{align}
3つ目の等号ではデルタ関数の積分表示
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ e^{\pm i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol{k})\end{align}
を用い、4つ目の等号では次の関係式
\begin{align}E_{{k}}=E_{-{k}}=\sqrt{\boldsymbol k^2+m^2}\end{align}
を用いた。
となり、第2項は
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{iq}{2}\hat\varPi^\dagger(t,\boldsymbol{x})\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{q}{4} (\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})+\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\tag{8}\end{align}
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{iq}{2}\hat\varPi^\dagger(t,\boldsymbol{x})\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{iq}{2}\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})(-iE_k)e^{-ik\cdot x}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})(iE_k)e^{ ik\cdot x}\right\}\\&\ \ \ \ ×\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k’}}}\left\{\hat a_-(\boldsymbol{k’})e^{-ik’\cdot x}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{ ik’\cdot x}\right\}\\&=\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{(2\pi)^3}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{E_kq}{4\sqrt{E_kE_{k’}}} (\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}})\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \text{d}^3\boldsymbol{k’}\ \frac{E_kq}{4\sqrt{E_kE_{k’}}}(\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ +\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’}))\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{q}{4} (a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})+\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\end{align}
3つ目の等号ではデルタ関数の積分表示
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ e^{\pm i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol{k})\end{align}
を用い、4つ目の等号では次の関係式
\begin{align}E_{{k}}=E_{-{k}}=\sqrt{\boldsymbol k^2+m^2}\end{align}
を用いた。
となり、第3項は
\begin{align}-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{iq}{2}\hat\varPi(t,\boldsymbol{x})\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{q}{4} (-\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})-\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\tag{9}\end{align}
\begin{align}-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{iq}{2}\hat\varPi(t,\boldsymbol{x})\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x})&=-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{iq}{2}\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\left\{\hat a_-(\boldsymbol{k})(-iE_k)e^{-ik\cdot x}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})(iE_k)e^{ ik\cdot x}\right\}\\&\ \ \ \ ×\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k’}}}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{-ik’\cdot x}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{ ik’\cdot x}\right\}\\&=\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{(2\pi)^3}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{E_kq}{4\sqrt{E_kE_{k’}}} (-\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}})\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \text{d}^3\boldsymbol{k’}\ \frac{E_kq}{4\sqrt{E_kE_{k’}}}(-\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ +\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ +\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’}))\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{q}{4} (-a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})-\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\end{align}
3つ目の等号ではデルタ関数の積分表示
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ e^{\pm i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol{k})\end{align}
を用い、4つ目の等号では次の関係式
\begin{align}E_{{k}}=E_{-{k}}=\sqrt{\boldsymbol k^2+m^2}\end{align}
を用いた。
となり、第4項は
\begin{align}-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{iq}{2}\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x})\hat\varPi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{q}{4} (a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})-\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\tag{10}\end{align}
\begin{align}-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{iq}{2}\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x})\hat\varPi(t,\boldsymbol{x})&=-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{iq}{2}\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})e^{-ik\cdot x}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})e^{ ik\cdot x}\right\}\\&\ \ \ \ ×\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k’}}}\left\{\hat a_-(\boldsymbol{k’})(-iE_{k’})e^{-ik’\cdot x}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})(iE_{k’})e^{ ik’\cdot x}\right\}\\&=\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{(2\pi)^3}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{E_{k’}q}{4\sqrt{E_kE_{k’}}} (\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}})\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}\ \frac{E_{k’}q}{4\sqrt{E_kE_{k’}}}(\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ +\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’}))\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{q}{4} (a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})-\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\end{align}
3つ目の等号ではデルタ関数の積分表示
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ e^{\pm i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol{k})\end{align}
を用い、4つ目の等号では次の関係式
\begin{align}E_{{k}}=E_{-{k}}=\sqrt{\boldsymbol k^2+m^2}\end{align}
を用いた。
となるため、4つの項を足し合わせると
\begin{align}\hat {\mathcal Q}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{q}{2}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})-\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\tag{11}\end{align}
と生成消滅演算子で表した電荷\(\hat {\mathcal Q}\)を求めることができる。ここで、電荷から時間\(t\)が消えたのは、電荷\(\mathcal Q\)が保存量であることを表している。
正規順序
電荷
\begin{align}\hat {\mathcal Q}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{q}{2}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})-\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\tag{11}\end{align}
において、生成演算子\(a_\pm^\dagger(\boldsymbol{k})\)を消滅演算子\(a_\pm(\boldsymbol{k})\)の左に持ってくる正規順序を行なうと、
\begin{align}\hat {\mathcal Q}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ q\left\{\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\tag{12}\end{align}
\begin{align}\hat {\mathcal Q}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{q}{2}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})-\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{q}{2}\left\{2\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})-2\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})+[\hat a_+(\boldsymbol{k}),\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})]-[\hat a_-(\boldsymbol{k}),\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})]\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ q\left\{\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\end{align}
2行目への変形では生成消滅演算子の交換関係の定義
\begin{align*}[\hat a_\pm(\boldsymbol{k}),\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol{k})]=\hat a_\pm(\boldsymbol{k})\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol{k})-\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_\pm(\boldsymbol{k})\end{align*}
を用い、3行目への変形では生成消滅演算子の交換関係(前ページを参照)
\begin{align*}[\hat a_+(\boldsymbol{k}),\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})]=[\hat a_-(\boldsymbol{k}),\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})]=\delta^3(\boldsymbol 0)\end{align*}
を用いた。
となる。途中式を見るとわかるが、発散量となる\([\hat a_\pm(\boldsymbol{k}),\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol{k})]\)が逆符号で2つ現れているためそれぞれ打ち消し合って、全体として発散量は現れない。もし、式(1)のように対称化せず第2量子化すると
\begin{align*}\hat{\mathcal Q}&=\int{d}^3\boldsymbol x\ iq(\hat\varPhi^\dagger\hat\varPi^\dagger-\hat\varPi\hat\varPhi)\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ q\left\{\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})-\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ q\left\{\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})-[\hat a_-(\boldsymbol{k}),\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})]\right\}\tag{13}\end{align*}
となって、発散量が現れてしまう。前ページにおいて、ハミルトニアン\(\hat H\)
\begin{align*}\hat H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\hat \varPi^\dagger\hat\varPi+(\nabla\hat\varPhi^\dagger)\nabla\hat\varPhi+m^2\hat\varPhi^\dagger\hat\varPhi\right)\tag{14}\end{align*}
も式(2)のように対称化してから第2量子化を行えば正規順序の際に真空エネルギー\(E_0\)を無視しなくても良いのではと思うかもしれないが、電荷\(\hat{\mathcal Q}\)と異なりハミルトニアン\(\hat H\)では全ての項がプラスであるため対称化しても発散量は消えない。
スポンサーリンク
次ページから…
次ページでは、複素スカラー場で現れた\(\hat a_+^\dagger(\boldsymbol k)\),\(\hat a_+(\boldsymbol k)\)は粒子に関する生成消滅演算子であるが、\(\hat a_-^\dagger(\boldsymbol k)\),\(\hat a_-(\boldsymbol k)\)は反粒子に関する生成消滅演算子であることを確認する。
HOME ＞ 場の量子論 ＞ 複素スカラー場の量子論 ＞ 複素スカラー場の電荷と生成消滅演算子