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本ページでは…
本ページでは、クライン-ゴルドン方程式を導く複素場のハミルトニアン\(H\)
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\varPi^*\varPi+(\nabla\varPhi^*)\nabla\varPhi+m^2\varPhi^*\varPhi+\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\right)\end{align*}
を第2量子化することによって、演算子となったハミルトニアン\(\hat H\)
\begin{align*}\hat H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\hat \varPi^\dagger\hat\varPi+(\nabla\hat\varPhi^\dagger)\nabla\hat\varPhi+m^2\hat\varPhi^\dagger\hat\varPhi+\frac{\lambda}{4}(\hat\varPhi^\dagger\hat\varPhi)^2\right)\end{align*}
を求める。
前ページまで…
前ページでは、複素スカラー場の正準共役運動量\(\varPi\),\(\varPi^*\)
\begin{align}\varPi&=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0\varPhi}=\partial^0\varPhi\\\varPi^*&=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0\varPhi^*}=\partial^0\varPhi^*\end{align}
を求め、ルジャンドル変換
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ ((\partial^0\varPhi)\varPi+(\partial^0\varPhi^*)\varPi^*-\mathscr L)\end{align*}
によって複素スカラー場のハミルトニアン
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\varPi^*\varPi+(\nabla\varPhi^*)\nabla\varPhi+m^2\varPhi^*\varPhi+\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\right)\tag{7}\end{align*}
を求めた。
内容
複素スカラー場の第2量子化
クライン-ゴルドン方程式
\begin{align}\partial_\mu\partial^\mu\varPhi+m^2\varPhi+\frac{\lambda}{2}(\varPhi^*\varPhi)\varPhi=0\tag{1}\\\partial_\mu\partial^\mu\varPhi^*+m^2\varPhi^*+\frac{\lambda}{2}(\varPhi^*\varPhi)\varPhi^*=0\tag{2}\end{align}
を直接導くハミルトニアン\(H\)は
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\varPi^*\varPi+(\nabla\varPhi^*)\nabla\varPhi+m^2\varPhi^*\varPhi+\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\right)\tag{3}\end{align*}
であり、複素場\(\varPhi\),\(\varPhi^*\)と正準共役運動量\(\varPi\),\(\varPi^*\)から成り立っていた(前ページを参照)。また、複素場\(\varPhi\),\(\varPhi^*\)と正準共役運動量\(\varPi\),\(\varPi^*\)のポアソン括弧は
\begin{align}\left\{\varPhi(t,\boldsymbol x),\varPi(t,\boldsymbol y)\right\}&=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{4}\\\left\{\varPhi^*(t,\boldsymbol x),\varPi^*(t,\boldsymbol y)\right\}&=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{5}\end{align}
であった(以前のページを参照)ため、第1量子化と同様に次の正準交換関係
\begin{align}\left[\hat\varPhi(t,\boldsymbol x),\hat\varPi(t,\boldsymbol y)\right]&=i\hbar\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{6}\\\left[\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol x),\hat\varPi^\dagger(t,\boldsymbol y)\right]&=i\hbar\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{7}\end{align}
を満たす、複素場の演算子\(\hat\varPhi\)と正準共役運動量の演算子\(\hat\varPi\)に置き換えることによって、場の量子論における正準量子化が行える(自然単位系では\(\hbar=1\)となる)。ここで、上記の交換関係以外の交換関係は\(0\)となる(演算子になる際に複素共役はエルミート共役になることに注意する)。これが、複素スカラー場における第2量子化である(以前のページを参照)。
ハミルトニアン\(H\)を構成する複素場\(\varPhi\)と正準共役運動量\(\varPi\)を演算子に置き換えることによって、演算子となったハミルトニアン\(\hat H\)
\begin{align*}\hat H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\hat \varPi^\dagger\hat\varPi+(\nabla\hat\varPhi^\dagger)\nabla\hat\varPhi+m^2\hat\varPhi^\dagger\hat\varPhi+\frac{\lambda}{4}(\hat\varPhi^\dagger\hat\varPhi)^2\right)\tag{8}\end{align*}
が得られる。
また、以前のページより運動量\(P^j\)は
\begin{align}P^j&=\int\text{d}^3\boldsymbol x\ (\varPi\partial^j\varPhi+\varPi^*\partial^j\varPhi^*)\\\rightarrow \boldsymbol P&=-\int\text{d}^3\boldsymbol x\ (\varPi\boldsymbol \nabla\varPhi+\varPi^*\boldsymbol \nabla\varPhi^*)\\&=-\int\text{d}^3\boldsymbol x\ \frac{1}{2}(\varPi\boldsymbol \nabla\varPhi+(\boldsymbol \nabla\varPhi)\varPi+\varPi^*\boldsymbol \nabla\varPhi^*+(\boldsymbol \nabla\varPhi^*)\varPi^*)\tag{9}\end{align}
と表されていたため、第2量子化より運動量演算子\(\hat{\boldsymbol P}\)は
\begin{align}\hat{\boldsymbol P}&=-\int\text{d}^3\boldsymbol x\ \frac{1}{2}(\hat\varPi\boldsymbol \nabla\hat\varPhi+(\boldsymbol \nabla\hat\varPhi)\hat\varPi+\hat\varPi^\dagger\boldsymbol \nabla\hat\varPhi^\dagger+(\boldsymbol \nabla\hat\varPhi^\dagger)\hat\varPi^\dagger)\tag{10}\end{align}
となる(ここで、運動量演算子がエルミート演算子になるのようにしている)。
次ページから…
次ページでは、複素スカラー場が
\begin{align}\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\\\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a_-(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\end{align}
と表され、生成消滅演算子\(\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol k)\),\(\hat a_\pm(\boldsymbol k)\)から構成されることをみる。
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