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本ページでは、位相空間での経路積分表示(多自由度)に具体的なハミルトニアンを代入し、フレネル積分を行なうことにより、配位空間での経路積分表示(多自由度)を求める。
ここで、多自由度とは例えば\(x\)軸、\(y\)軸、\(z\)軸…など複数の座標を持つ空間を上を粒子が行ったり来たりするイメージである。
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前々ページで、位相空間での経路積分表示(多自由度)を求めた。
\begin{align*} &K(q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}) \\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\prod^{N-1}_{n=1}\int dq_{\scriptsize{i,n}}\right)\left(\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\prod^{N}_{n=1}\int \frac{dp_{\scriptsize{i,n}}}{2\pi\hbar}\right) \\&\ \ \ ×\exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\left\{\sum_{i=1}^{N_{\scriptsize{F}}}p_{\scriptsize{i,n}}\left(\frac{q_{\scriptsize{i,n}}-q_{\scriptsize{i,n-1}}}{\varDelta t}\right)-H(q_{\scriptsize{n}},p_{\scriptsize{n}})\right\}\right] \tag{1}\end{align*}
この表示では、指数関数の肩にハミルトニアン\(H\)があり、このままでは位置\(q_{\scriptsize{i,n}}\)と運動量\(p_{\scriptsize{i,n}}\)を別々に計算することができない。
内容
配位空間とは
配位空間とは位置\(q\)のみを変数とする空間であり、この空間において関数は位置\(q\)で表される。
配位空間での経路積分表示
位相空間での経路積分表示(多自由度)に、次のハミルトニアン\(H\)を代入して、平方完成を行なうことにより、位置\(q_{\scriptsize{i,n}}\)と運動量\(p_{\scriptsize{i,n}}\)を別々に計算することができる。
\begin{align*}H(q_{\scriptsize{n}},p_{\scriptsize{n}})=\sum_{i=1}^{N_{\scriptsize{F}}}\frac{p_{\scriptsize{i,n}}{}^2}{2m_{\scriptsize{i}}}+V(q_{\scriptsize{n}})\tag{2}\end{align*}
ここで、
\begin{align*}V(q_{\scriptsize{n}})&=V(q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{i,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}})\tag{3}\\H(q_{\scriptsize{n}},p_{\scriptsize{n}})&=H(q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{i,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}},p_{\scriptsize{1,n}},\cdots,p_{\scriptsize{i,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}})\tag{4}\end{align*}
である。さらに、運動量\(p_{\scriptsize{i,n}}\)に関してフレネル積分を行なうことにより、位置\(q_{\scriptsize{i,n}}\)のみで表すことができ、配位空間での経路積分表示(多自由度)を求めることが出来る。
実際に式(\(1\))にハミルトニアン式(\(2\))を代入して見ると次のようになる。
\begin{align*}&K(q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}) \\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\prod^{N-1}_{n=1}\int dq_{\scriptsize{i,n}}\right)\left(\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\prod^{N}_{n=1}\int \frac{dp_{\scriptsize{i,n}}}{2\pi\hbar}\right) \\&\ \ \ ×\exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\left\{\sum_{i=1}^{N_{\scriptsize{F}}}\left\{p_{\scriptsize{i,n}}\left(\frac{q_{\scriptsize{i,n}}-q_{\scriptsize{i,n-1}}}{\varDelta t}\right)-\frac{p_{\scriptsize{i,n}}{}^2}{2m_{\scriptsize{i}}}\right\}-V(q_{\scriptsize{n}})\right\}\right] \\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\prod^{N-1}_{n=1}\int dq_{\scriptsize{i,n}}\right)\left(\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\prod^{N}_{n=1}\int \frac{dp_{\scriptsize{i,n}}}{2\pi\hbar}\right) \\&\ \ \ ×\exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\left\{\sum_{i=1}^{N_{\scriptsize{F}}}\left\{-\frac{1}{2m_{\scriptsize{i}}}\left(p_{\scriptsize{i,n}}-m_{\scriptsize{i}}\frac{q_{\scriptsize{i,n}}-q_{\scriptsize{i,n-1}}}{\varDelta t}\Big)^2+\frac{m_{\scriptsize{i}}}{2}\Big(\frac{q_{\scriptsize{i,n}}-q_{\scriptsize{i,n-1}}}{\varDelta t}\right)^2\right\}-V(q_{\scriptsize{n}})\right\}\right]\tag{5}\end{align*}
※※※2番目の等号では、運動量\(p_{\scriptsize{i,n}}\)に関して平方完成を行なった。※※※
そして、次の変数変換
\begin{align*}p_{\scriptsize{i,n}}-m\frac{q_{\scriptsize{i,n}}-q_{\scriptsize{i,n-1}}}{\varDelta t}\rightarrow p’_{\scriptsize{i,n}}\tag{6}\end{align*}
を行なうと、位置\(q_{\scriptsize{i,n}}\)と運動量\(p’_{\scriptsize{i,n}}\)を別々に計算することができる(運動量\(p’_{\scriptsize{i,n}}\)に積分変数の位置\(q_{\scriptsize{i,n}}\)や\(q_{\scriptsize{i,n-1}}\)が含まれているように思えるが、\(N\rightarrow\infty\)の極限では\(\varDelta t\)と合わせて\(\dot q_{\scriptsize{i,n}}\)となり、積分変数とは異なるので心配はいらない)。
\begin{align*}&K(q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}})\\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\prod^{N-1}_{n=1}\int dq_{\scriptsize{i,n}}\right)\left(\prod^{N}_{n=1}\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\int \frac{dp’_{\scriptsize{i,n}}}{2\pi\hbar}\right) \\&\ \ \ ×\exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\left\{\sum_{i=1}^{N_{\scriptsize{F}}}\left\{-\frac{1}{2m}p’_{\scriptsize{i,n}}{}^2+\frac{m_{\scriptsize{i}}}{2}\left(\frac{q_{\scriptsize{i,n}}-q_{\scriptsize{i,n-1}}}{\varDelta t}\right)^2\right\}-V(q_{\scriptsize{n}})\right\}\right] \\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\prod^{N-1}_{n=1}\int dq_{\scriptsize{i,n}}\right)\left(\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\prod^{N}_{n=1}\int \frac{dp’_{\scriptsize{i,n}}}{2\pi\hbar}\exp\bigg[\frac{i}{\hbar}\varDelta t\left\{-\frac{1}{2m_{\scriptsize{i}}}p’_{\scriptsize{i,n}}{}^2\right\}\bigg]\right) \\&\ \ \ ×\exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\left\{\sum_{i=1}^{N_{\scriptsize{F}}}\frac{m_{\scriptsize{i}}}{2}\left(\frac{q_{\scriptsize{i,n}}-q_{\scriptsize{i,n-1}}}{\varDelta t}\right)^2-V(q_{\scriptsize{n}})\right\}\right]\tag{7}\end{align*}
※※※2番目の等号では、位置\(q_{\scriptsize{i,n}}\)と運動量\(p’_{\scriptsize{i,n}}\)をそれぞれにまとめた。※※※
最後に、運動量\(p’_{\scriptsize{i,n}}\)に対してフレネル積分
\begin{align*} \int^\infty_{-\infty}dp’\ e^{-\frac{i}{2}bp’^2} =\sqrt{\frac{2\pi}{ib}}\ \ \ \ (b \in\mathbb{R}) \tag{8}\end{align*}
を行なうと、次のように変形できる。
\begin{align*}&K(q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}})\\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\prod^{N-1}_{n=1}\int dq_{\scriptsize{i,n}}\right)\Bigg\{\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\Bigg(\frac{1}{2\pi\hbar}\sqrt{\frac{2\pi\hbar m_{\scriptsize{i}}}{i\varDelta t}}\Bigg)^{N} \Bigg\}\\&\ \ \ ×\exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\left\{\sum_{i=1}^{N_{\scriptsize{F}}}\frac{m_{\scriptsize{i}}}{2}\left(\frac{q_{\scriptsize{i,n}}-q_{\scriptsize{i,n-1}}}{\varDelta t}\right)^2-V(q_{\scriptsize{n}})\right\}\right] \\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\prod^{N-1}_{n=1}\int dq_{\scriptsize{i,n}}\right)\Bigg\{\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\Bigg( \frac{m_{\scriptsize{i}}}{2\pi\hbar i\varDelta t}\Bigg)^{\frac{N}{2}}\Bigg\} \\&\ \ \ ×\exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\left\{\sum_{i=1}^{N_{\scriptsize{F}}}\frac{m_{\scriptsize{i}}}{2}\left(\frac{q_{\scriptsize{i,n}}-q_{\scriptsize{i,n-1}}}{\varDelta t}\right)^2-V(q_{\scriptsize{n}})\right\}\right]\tag{9}\end{align*}
これが配位空間での経路積分表示(多自由度)であり、配位空間のため位置\(q_{\scriptsize {i,n}}\)のみで表されている。
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次ページでは、位置を連続変数と捉えることで、配位空間での経路積分表示(多自由度)を汎関数積分の形で求める。
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