構成方程式(磁場と磁束密度)

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 本ページでは、構成方程式

を求め、源場である磁場\(\boldsymbol H\)と力場である磁束密度\(\boldsymbol B\)の関係が磁化\(\boldsymbol M\)を介して得られることを確認する。

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 前ページでは、源場である磁場\(\boldsymbol H\)と力場である磁束密度\(\boldsymbol B\)が透磁率\(\mu\)を用いて次の関係

\begin{align*}\boldsymbol B=\mu\boldsymbol H\end{align*}

があり、特に真空状態では真空の透磁率\(\mu_0\)を用いて

\begin{align*}\boldsymbol B_0=\mu_0\boldsymbol H\end{align*}

となることを見た。

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内容

構成方程式

 真空状態において、自由電流が作る磁場\(\boldsymbol H\)と磁束密度\(\boldsymbol B_0\)の関係は

\begin{align*}\boldsymbol B_0=\mu_0\boldsymbol H\tag{1}\end{align*}

であったため、電流が作る磁気力線の密度に真空の透磁率\(\mu_0\)を掛けると磁気力線の密度が作る磁束密度となることが分かる。よって、整列した磁化電流が作る磁気力線の密度である磁化\(\boldsymbol M\)に真空の透磁率\(\mu_0\)を掛けると磁化が作る磁束密度\(\boldsymbol B_m\)

\begin{align*}\boldsymbol B_m=\mu_0\boldsymbol H\tag{2}\end{align*}

となる。

 力場である磁束密度\(\boldsymbol B\)は、磁場が作る磁束密度\(\boldsymbol B_0\)と磁化が作る磁束密度\(\boldsymbol B_m\)との重ね合わせて表現でき、

\begin{align*}\boldsymbol B&=\boldsymbol B_0+\boldsymbol B_n\\&=\mu_0(\boldsymbol H+\boldsymbol M)\tag{3}\end{align*}

となる。

 式(3)を変形した式

\begin{align*}\boldsymbol H=\frac{\boldsymbol B}{\mu_0}-\boldsymbol M\tag{4}\end{align*}

を構成方程式といい、源場である磁場\(\boldsymbol H\)と力場である磁束密度\(\boldsymbol B\)の関係が磁化\(\boldsymbol M\)を介して得られることが分かる。

磁気感受率

 磁場\(\boldsymbol H\)と磁束密度\(\boldsymbol B\)の関係

\begin{align*}\boldsymbol B=\mu\boldsymbol H\tag{5}\end{align*}

と構成方程式(4)より、次の関係

\begin{align*}\boldsymbol M&=\frac{\mu-\mu_0}{\mu_0}\boldsymbol H\tag{6}\end{align*}

が得られ、磁気感受率(または磁化率)\(\chi_{\text m}\)

\begin{align*}\chi_{\text m}=\frac{\mu-\mu_0}{\mu_0}\tag{7}\end{align*}

を定義すると

\begin{align*}\boldsymbol M=\chi_{\text m}\boldsymbol H\tag{8}\end{align*}

と磁化\(\boldsymbol M\)が表される。ある磁化\(\boldsymbol M\)が生じたとき、磁場\(\boldsymbol H\)との関係は磁気感受率\(\chi_{\text m}\)を用いて式(8)で表される。

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