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本ページでは、4元確率流密度\(j^\mu\)を用いたディラック方程式における流れの保存の関係式
\begin{align*}\partial_\mu j^\mu=0\end{align*}
を確認し、「流れの保存」と「どの時刻においても、空間の無限遠で波動関数\(\boldsymbol\psi\)がゼロに収束すること」を満たせば、確率密度\(\rho\)の全空間積分は保存する(つまり、どの時刻においても確率密度\(\rho\)の全空間積分は一定となる)ことを確認する。
また、ディラック方程式において確率密度\(\boldsymbol\psi^\dagger\boldsymbol\psi\)は常に非負の値をとり、確率解釈が行なえることを確認する。
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前ページでは、ガンマ行列のディラック表示\(\boldsymbol{\gamma}^{\mu}_{\text{D}}\)・ワイル表示\(\boldsymbol{\gamma}^{\mu}_{\text{W}}\)・マヨラナ表示\(\boldsymbol{\gamma}^{\mu}_{\text{M}}\)を調べる。
内容
ディラック方程式の4元確率流密度
確率密度\(\rho\)と確率流密度\(\boldsymbol j=(j^1,j^2,j^3)\)と呼ばれる量を次のように定義
\begin{align*}\rho&=\boldsymbol\psi^\dagger\boldsymbol\psi\tag{1}\\j^k&=c\boldsymbol\psi^\dagger\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^k\boldsymbol\psi\ \ \ \ (k=1,2,3)\tag{2}\end{align*}
したとき、シュレーディンガー方程式のとき(以前のページ参照)やクライン-ゴルドン方程式のとき(以前のページ参照)と同様に、ディラック方程式においても次の流れの保存の関係式
\begin{align*}\frac{\partial}{\partial t}\rho+\nabla\cdot \boldsymbol j=0\tag{3}\end{align*}
を満たす。この式は、次の4元確率流密度\(j^\mu\)
\begin{align*}j^\mu&=(\rho c,\boldsymbol j)\\&=c\boldsymbol\psi^\dagger\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol\psi\ \ \ \ (\mu=0,1,2,3)\tag{4}\end{align*}
を用いて
\begin{align*}\partial_\mu j^\mu=0\tag{5}\end{align*}
と表すことができる。シュレーディンガー方程式のときやクライン-ゴルドン方程式のときと同様に、「流れの保存」と「どの時刻においても、空間の無限遠で波動関数\(\boldsymbol \psi\)がゼロに収束すること」を満たせば、確率密度\(\rho\)の全空間積分は保存する(つまり、どの時刻においても確率密度\(\rho\)の全空間積分は一定となる)ことが保証され、そのことは後ほど確認してみる。
流れの保存の導出
ここでは、ディラック方程式においても流れの保存の関係式が成り立つことを見てみる。まず、ディラック方程式
\begin{align*}i\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu\boldsymbol\psi-\frac{mc}{\hbar} \boldsymbol\psi=0\tag{6}\end{align*}
と両辺のエルミート共役をとった次の方程式
\begin{align*}-i(\partial_\mu\boldsymbol\psi)^\dagger(\boldsymbol\gamma^\mu)^\dagger-\frac{mc}{\hbar} \boldsymbol\psi^\dagger=0\tag{7}\end{align*}
を準備する。式(7)の両辺に左から波動関数\(\boldsymbol\psi^\dagger\boldsymbol\gamma^0\)を、式(8)の両辺に右から波動関数\(\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\psi\)をかけると
\begin{align*}i\boldsymbol\psi^\dagger\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu\boldsymbol\psi-\frac{mc}{\hbar} \boldsymbol\psi^\dagger\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\psi&=0\tag{8}\\-i(\partial_\mu\boldsymbol\psi)^\dagger(\boldsymbol\gamma^\mu)^\dagger\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\psi-\frac{mc}{\hbar} \boldsymbol\psi^\dagger\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\psi&=0\tag{9}\end{align*}
となり、2式の差をとると
\begin{align*}i\boldsymbol\psi^\dagger\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu\boldsymbol\psi+i(\partial_\mu\boldsymbol\psi)^\dagger(\boldsymbol\gamma^\mu)^\dagger\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\psi=0\tag{10}\end{align*}
となる。反交換関係の式から導かれる次の式
\begin{align*}\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^k&=-\boldsymbol\gamma^k\boldsymbol\gamma^0\ \ \ (k=1,2,3)\tag{11}\end{align*}
と、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のエルミート性
\begin{align*}(\boldsymbol\gamma^0)^\dagger&=\boldsymbol\gamma^0\tag{12}\\(\boldsymbol\gamma^k)^\dagger&=-\boldsymbol\gamma^k\ \ \ (k=1,2,3)\tag{13}\end{align*}
を用いて得られる次の式
\begin{align*}\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^\mu=(\boldsymbol\gamma^\mu)^\dagger\boldsymbol\gamma^0\tag{14}\end{align*}
を用いて式(10)を整理すると
\begin{align*}\boldsymbol\psi^\dagger\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu\boldsymbol\psi+(\partial_\mu\boldsymbol\psi)^\dagger\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol\psi=0\tag{15}\end{align*}
となる(以前のページで述べたように、すべてのガンマ行列が式(12)と式(13)のエルミート性を満たす訳ではないが、相似変換によってどのようなガンマ行列を使用しても良いため問題はない)。最後に、部分積分の形から積の積分の形に変更すると
\begin{align*}\partial_\mu(\boldsymbol\psi^\dagger\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol\psi)=0\tag{16}\end{align*}
となり、両辺に\(c\)を掛けると、
\begin{align*}\partial_\mu(c\boldsymbol\psi^\dagger\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol\psi)=0\tag{17}\end{align*}
となって、4元確率流密度\(j^\mu\)を用いて表すと
\begin{align*}\partial_\mu j^\mu=0\tag{5}\end{align*}
となって、流れの保存が導かれる。
流れの保存の応用
次に、「流れの保存」と「どの時刻においても、空間の無限遠で波動関数\(\boldsymbol\psi\)がゼロに収束すること」を満たせば、確率密度\(\rho\)の全空間積分は保存する(つまり、どの時刻においても確率密度\(\rho\)の全空間積分は一定となる)ことを確認してみる。このことは、次のように確率密度\(\rho\)の全空間積分を時間積分したときにゼロになることを確かめればよい(ここで、\(d^3\boldsymbol x=dxdydz\)としている)。
\begin{align*}\frac{d}{dt}\int d^3\boldsymbol x\ \rho=0\tag{18}\end{align*}
まず、確認すべき式(18)の左辺を変形して流れの保存の関係式を用いると
\begin{align*}\frac{d}{dt}\int d^3\boldsymbol x\ \rho&=\int d^3\boldsymbol x\ \frac{\partial}{\partial t}\rho\\&=-\int d^3\boldsymbol x\ \nabla\cdot \boldsymbol j\tag{19}\end{align*}
となり、ガウスの発散定理
\begin{align*}\int d^3\boldsymbol x\ \nabla\cdot \boldsymbol j=\int_S dS\ \boldsymbol n\cdot \boldsymbol j\tag{20}\end{align*}
を用いると
\begin{align*}\frac{d}{dt}\int d^3\boldsymbol x\ \rho=-\int_S dS\ \boldsymbol n\cdot \boldsymbol j\tag{21}\end{align*}
と表すことができる。最後に、「どの時刻においても、空間の無限遠で波動関数\(\boldsymbol\psi\)がゼロに収束すること」を用いると、空間の無限遠では常に確率流密度\(\boldsymbol j\)
\begin{align*}j^k&=c\boldsymbol\psi^\dagger\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^k\boldsymbol\psi\ \ \ \ (k=1,2,3)\tag{2}\end{align*}
はゼロになるはずであり、式(21)の右辺において無限遠で面積分を行なえばゼロとなり式(18)が成り立つことが分かる。
\begin{align*}\frac{d}{dt}\int d^3\boldsymbol x\ \rho=0\tag{18}\end{align*}
ここで確認だが、シュレーディンガー方程式のときやクライン-ゴルドン方程式と同様に、確率密度及び確率流密度の具体的な形は使っておらず、確率密度\(\rho\)の全空間積分が保存する(つまり、どの時刻においても確率密度\(\rho\)の全空間積分が一定となる)ためには、「流れの保存」と「どの時刻においても、空間の無限遠で波動関数\(\boldsymbol\psi\)がゼロに収束すること」さえ満たせば、確率密度\(\rho\)と確率流密度\(\boldsymbol j\)はどのような形でもよいことに注意する。
ディラック方程式における確率解釈
確率密度\(\rho=\varPsi\varPsi^*\)が必ず非負の値をとるシュレーディンガー方程式のときと異なり、クライン-ゴルドン方程式では確率密度の形は
\begin{align*}\rho&=\frac{i\hbar}{2mc^2}\left(\phi^*\frac{\partial \phi}{\partial t}-\frac{\partial \phi^*}{\partial t}\phi\right)\tag{22}\end{align*}
であるため、確率密度\(\rho\)は負の値もとり、確率解釈を行なうことはできなかった(以前のページを参照)。では、ディラック方程式はどうだろうか。ディラック方程式は2階の時間微分は含まず1階の時間微分のみしか含まないため、ディラック方程式における確率密度\(\rho\)の形は
\begin{align*}\rho&=\boldsymbol\psi^\dagger\boldsymbol\psi\tag{1}\end{align*}
となっており、常に非負の値をとって確率解釈が行なえることが分かる。
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次ページでは、静止系におけるディラック方程式
\begin{align*}\left(\frac{i}{c}\boldsymbol\gamma^0\frac{\partial}{\partial t}-\frac{mc}{\hbar} \right)\boldsymbol\psi=0\end{align*}
を解き、正のエネルギー解\(E=mc^2\)に対応する2つの独立解
\begin{align*}\boldsymbol\psi^0=e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\\
0\\
\end{pmatrix}\\\boldsymbol\psi^1=e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0\\
0\\
\end{pmatrix}\end{align*}
と、負のエネルギー解\(E=-mc^2\)に対応する2つの独立解
\begin{align*}\boldsymbol\psi^2=e^{-\frac{i}{\hbar}(-mc^2)t}\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1\\
0\\
\end{pmatrix}\\\boldsymbol\psi^3=e^{-\frac{i}{\hbar}(-mc^2)t}\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}\end{align*}
が得られることを確認する。
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