発散の公式

2025.09.30

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本ページでは…

　本ページでは、以下の発散の公式を求める。

\begin{align*}\boldsymbol \nabla\cdot(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol f)=0\end{align*}

\begin{align*}\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol r&=3\end{align*}

\begin{align*}\boldsymbol\nabla\cdot(\vert\boldsymbol r\vert^{-3}\boldsymbol r)&=0\end{align*}

\begin{align*}\boldsymbol\nabla^2\vert\boldsymbol r\vert^{-1}&=0\end{align*}

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前ページまで…

　前ページでは、発散が流束密度であるベクトル場の各点のベクトル値を、大きさが｢点を含む微小体積における単位体積あたりの湧き出した流束｣であるスカラーに置き換える作用素であることをみた。また、3次元デカルト座標では発散\(\boldsymbol\nabla\cdot\)は

\begin{align*}\boldsymbol\nabla\cdot=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)\cdot\end{align*}

となることを求めた。

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内容

回転ベクトル場の発散

　2階微分が可能な任意のベクトル場\(\boldsymbol f\)において、そのベクトル場\(\boldsymbol f\)に回転を作用させて作った回転ベクトル場\(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol f\)の発散は常にゼロとなる(回転については次ページを参照)。

\begin{align*}\boldsymbol \nabla\cdot(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol f)=0\tag{1}\end{align*}

\begin{align*}\boldsymbol \nabla\cdot(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol f)&=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)\cdot\left(\frac{\partial f_z}{\partial y}-\frac{\partial f_y}{\partial z},\frac{\partial f_x}{\partial z}-\frac{\partial f_z}{\partial x},\frac{\partial f_y}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial y}\right)\\&=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial f_z}{\partial y}-\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial f_y}{\partial z}+\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial f_x}{\partial z}-\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial f_z}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial f_y}{\partial x}-\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial f_x}{\partial y}\\&=0\end{align*}

　この公式が表すことは、「閉曲面上で全ての渦を足し合わせるとゼロになる」ということであり、隣合った渦は境界で逆向きに渦巻いているため閉曲面上で全てを足し合わせるとゼロとなる。より厳密に言うと「回転ベクトル場と面積素の内積を閉曲面で面積分するとゼロとなる」ということであり、式で表すとあらゆる閉曲面で

\begin{align*}\int_S (\boldsymbol \nabla×\boldsymbol f)\cdot d\boldsymbol S=0\tag{2}\end{align*}

が成り立ち、発散定理(以前のページを参照)により

\begin{align*}\int_V \boldsymbol\nabla\cdot(\boldsymbol \nabla×\boldsymbol f)dxdydz=0\tag{3}\end{align*}

となることから、あらゆる閉曲面\(S\)が作る体積\(V\)で式(1)が成り立つ。

位置ベクトルの発散

　原点からある点\((x,y,z)\)までの位置ベクトルを各点のベクトル値として対応させたベクトル場

\begin{align*}\boldsymbol r=(x,y,z)\tag{4}\end{align*}

を考えたとき、発散\(\boldsymbol \nabla\cdot\)をこのベクトル場に作用させた発散スカラー\(\boldsymbol\nabla \cdot\boldsymbol r\)は次のようになる。

\begin{align*}\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol r&=3\tag{5}\end{align*}

\begin{align*}\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol r&=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)\cdot(x,y,z)\\&=\left(\frac{\partial x}{\partial x},\frac{\partial y}{\partial y},\frac{\partial z}{\partial z}\right)\\&=3\end{align*}

逆二乗場の発散

　電磁場のように大きさが距離の2乗に逆比例する逆二乗場はベクトル場であり、係数を除けば

\begin{align*}\frac{\boldsymbol r}{\vert\boldsymbol r\vert^3}\tag{6}\end{align*}

と表される(以前のページを参照)。発散\(\boldsymbol \nabla\cdot\)をこのベクトル場に作用させた発散スカラー\(\boldsymbol\nabla \cdot(\vert\boldsymbol r\vert^{-3}\boldsymbol r)\)は次のようになる。

\begin{align*}\boldsymbol\nabla\cdot(\vert\boldsymbol r\vert^{-3}\boldsymbol r)&=0\tag{7}\end{align*}

\begin{align*}\boldsymbol\nabla\cdot(\vert\boldsymbol r\vert^{-3}\boldsymbol r)&=\boldsymbol r\cdot\boldsymbol\nabla\vert\boldsymbol r\vert^{-3}+\vert\boldsymbol r\vert^{-3}\boldsymbol \nabla\cdot\boldsymbol r\\&=\boldsymbol r\cdot(-3\vert\boldsymbol r\vert^{-5}\boldsymbol r)+3\vert\boldsymbol r\vert^{-3}\\&=0\end{align*}

　このように、逆二乗場の発散がゼロとなるのは、逆二乗場が定義できない原点以外では、電束や磁束などの流束の湧き出しがないことを表している。

ニュートンポテンシャルの勾配の発散

　重力場や電磁場のように大きさが距離の2乗に逆比例する場のニュートンポテンシャルはスカラー場であり、係数を除けば

\begin{align*}\frac{1}{\vert \boldsymbol r\vert}\tag{8}\end{align*}

と表される(以前のページを参照)。勾配\(\boldsymbol\nabla\)をこのスカラー場に作用させた勾配ベクトル\(\boldsymbol \nabla\vert\boldsymbol r\vert^{-1}\)は逆二乗場の符号違い

\begin{align*}\boldsymbol\nabla\left(\frac{1}{\vert \boldsymbol r\vert}\right)=-\frac{\boldsymbol r}{\vert\boldsymbol r\vert^3}\tag{9}\end{align*}

\begin{align*}\boldsymbol\nabla\left(\frac{1}{\vert \boldsymbol r\vert}\right)&=\boldsymbol\nabla\vert \boldsymbol r\vert^{-1}\\&=-\vert \boldsymbol r\vert^{-3}\boldsymbol r\\&=-\frac{\boldsymbol r}{\vert\boldsymbol r\vert^3}\end{align*}

　2行目への変形では、勾配を用いた次の関係を用いた(以前のページを参照)。

\begin{align*}\boldsymbol\nabla\vert\boldsymbol r\vert^n=n\vert\boldsymbol r\vert^{n-2}\boldsymbol r\end{align*}

となり(以前のページを参照)、逆二乗場の発散はゼロとなるため、ニュートンポテンシャルの勾配の発散はゼロとなる。

\begin{align*}\boldsymbol\nabla^2\vert\boldsymbol r\vert^{-1}&=0\tag{10}\end{align*}

\begin{align*}\boldsymbol\nabla^2\vert\boldsymbol r\vert^{-1}&=\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol\nabla\vert\boldsymbol r\vert\\&=-\boldsymbol\nabla\cdot(\vert\boldsymbol r\vert^{-3}\boldsymbol r)\\&=0\end{align*}

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次ページから…

　次ページでは、回転がベクトル場の各点のベクトル値を、向きが｢その点に生じている渦の回転軸(右手系)の向き｣で大きさが｢渦の強さ｣であるベクトルに置き換える作用素であることをみる。また、3次元デカルト座標では回転\(\boldsymbol\nabla\)は

\begin{align*}\boldsymbol\nabla×=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)×\end{align*}

となることを求める。

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