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本ページでは…
本ページでは、位置ベクトル\(\boldsymbol r\)の発散\(\boldsymbol\nabla \cdot\boldsymbol r\)が
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol r&=3\end{align*}
となり、逆二乗場の発散\(\boldsymbol\nabla \cdot(\vert\boldsymbol r\vert^{-3}\boldsymbol r)\)が
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\cdot(\vert\boldsymbol r\vert^{-3}\boldsymbol r)&=0\end{align*}
となることをみる。また、ニュートンポテンシャルの勾配の発散が
\begin{align*}\boldsymbol\nabla^2\vert\boldsymbol r\vert^{-1}&=0\end{align*}
となることもみる。
前ページまで…
前ページでは、発散が流束密度であるベクトル場の各点のベクトル値を、大きさが｢点を含む微小体積における単位体積あたりの湧き出した流束｣であるスカラーに置き換える作用素であることをみた。また、3次元デカルト座標では発散\(\boldsymbol\nabla\cdot\)は
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\cdot=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)\cdot\end{align*}
となることを求めた。
内容
位置ベクトルの発散
原点からある点\((x,y,z)\)までの位置ベクトルを各点のベクトル値として対応させたベクトル場
\begin{align*}\boldsymbol r=(x,y,z)\tag{1}\end{align*}
を考えたとき、発散\(\boldsymbol \nabla\cdot\)をこのベクトル場に作用させた発散スカラー\(\boldsymbol\nabla \cdot\boldsymbol f\)は次のようになる。
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol r&=3\tag{2}\end{align*}
逆二乗場の発散
電磁場のように大きさが距離の2乗に逆比例する逆二乗場はベクトル場であり、係数を除けば
\begin{align*}\frac{\boldsymbol r}{\vert\boldsymbol r\vert^3}\tag{3}\end{align*}
と表される(以前のページを参照)。発散\(\boldsymbol \nabla\cdot\)をこのベクトル場に作用させた発散スカラー\(\boldsymbol\nabla \cdot(\vert\boldsymbol r\vert^{-3}\boldsymbol r)\)は次のようになる。
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\cdot(\vert\boldsymbol r\vert^{-3}\boldsymbol r)&=0\tag{4}\end{align*}
このように、逆二乗場の発散がゼロとなるのは、逆二乗場が定義できない原点以外では、電束や磁束などの流束の湧き出しがないことを表している。
ニュートンポテンシャルの勾配の発散
重力場や電磁場のように大きさが距離の2乗に逆比例する場のニュートンポテンシャルはスカラー場であり、係数を除けば
\begin{align*}\frac{1}{\vert \boldsymbol r\vert}\tag{5}\end{align*}
と表される(以前のページを参照)。勾配\(\boldsymbol\nabla\)をこのスカラー場に作用させた勾配ベクトル\(\boldsymbol \nabla\vert\boldsymbol r\vert^{-1}\)は逆二乗場の符号違い
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\left(\frac{1}{\vert \boldsymbol r\vert}\right)=-\frac{\boldsymbol r}{\vert\boldsymbol r\vert^3}\tag{6}\end{align*}
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\left(\frac{1}{\vert \boldsymbol r\vert}\right)&=\boldsymbol\nabla\vert \boldsymbol r\vert^{-1}\\&=-\vert \boldsymbol r\vert^{-3}\boldsymbol r\\&=-\frac{\boldsymbol r}{\vert\boldsymbol r\vert^3}\end{align*}
2行目への変形では、勾配を用いた次の関係を用いた(以前のページを参照)。
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\vert\boldsymbol r\vert^n=n\vert\boldsymbol r\vert^{n-2}\boldsymbol r\end{align*}
となり(以前のページを参照)、逆二乗場の発散はゼロとなるため、ニュートンポテンシャルの勾配の発散はゼロとなる。
\begin{align*}\boldsymbol\nabla^2\vert\boldsymbol r\vert^{-1}&=0\tag{6}\end{align*}
次ページから…
次ページでは、回転がベクトル場の各点のベクトル値を、向きが｢点に球を置いて回転したときに、右手系となる回転軸の向き｣で大きさが｢回転の大きさ｣であるベクトルに置き換える作用素であることをみる。また、3次元デカルト座標では回転\(\boldsymbol\nabla\)は
\begin{align*}\boldsymbol\nabla×=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)×\end{align*}
となることを求める。
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