【やさしい物理数学】発散定理

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内容
1. 発散定理
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　本ページでは、発散の体積積分を流束密度の面積分に結び付ける発散定理

\begin{align*}\int_V \nabla\cdot \boldsymbol f\ dxdydz=\int_S \boldsymbol f\cdot d\boldsymbol S\end{align*}

を導出する。

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　本ページでは、距離のべき乗\(\vert\boldsymbol r\vert^n\)で表されるスカラー場\(f=\vert\boldsymbol r\vert^n\)の勾配ベクトル\(\boldsymbol\nabla f\)が

\begin{align*}\boldsymbol\nabla\vert\boldsymbol r\vert^n=n\vert\boldsymbol r\vert^{n-2}\boldsymbol r\end{align*}

となり、位置ベクトル\(\boldsymbol r\)と定数ベクトル\(\boldsymbol a=(a_x,a_y,a_z)\)との内積で表されるスカラー場\(f=(\boldsymbol r\cdot\boldsymbol a)\)の勾配ベクトル\(\boldsymbol\nabla f\)は

\begin{align*}\boldsymbol\nabla(\boldsymbol r\cdot\boldsymbol a)=\boldsymbol a\end{align*}

となることをみる。

内容

発散定理

　流束密度であるベクトル場\(\boldsymbol f\)が与えられたとき、閉曲面\(S\)に囲われた体積\(V\)を考える。

　発散スカラー\(\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol f\)は微小体積における単位体積あたりの湧き出した流束を表す(以前のページを参照)ため、発散スカラーの体積積分

\begin{align*}\int_V \boldsymbol\nabla\cdot \boldsymbol f\ dxdydz\tag{1}\end{align*}

は体積\( V\)から湧き出した流束を表わす。

一方、大きさが微小面積\(dS\)の値に等しく、向きが微小面積\(dS\)の法線の向きに等しい面積素\(d\boldsymbol S\)を考えたとき、流束密度であるベクトル場\(\boldsymbol f\)と面積素\(d\boldsymbol S\)の内積は微小面積\(dS\)を法線の向きに通過する流束を表す(以前のページを参照)ため、体積\(V\)の表面積\(S\)においてこの内積の面積分

\begin{align*}\int_S \boldsymbol f\cdot d\boldsymbol S\tag{2}\end{align*}

は体積\( V\)から湧き出した流束を表わす。

　式(1)と式(2)はどちらも体積\(V\)から湧き出した流束を表すため、次の式

\begin{align*}\int_V \boldsymbol\nabla\cdot \boldsymbol f\ dxdydz=\int_S \boldsymbol f\cdot d\boldsymbol S\tag{3}\end{align*}

が成り立つ。この式は、発散の体積積分を流れの面積分に結び付けており、これを発散定理と呼ぶ。

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