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本ページでは、マクスウェル方程式を構成するファラデー-マクスウェルの式
\begin{align*}\boldsymbol \nabla×\boldsymbol E&=-\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t}\ \ \ \ \left(\text{rot}\boldsymbol E=-\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t}\right)\end{align*}
または
\begin{align*}\int_C\boldsymbol E\cdot d\boldsymbol l&=-\int_S\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t}\cdot d\boldsymbol S\end{align*}
を導く。
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前ページでは、マクスウェル方程式を構成する磁束保存の式
\begin{align*}\boldsymbol \nabla \cdot\boldsymbol B&=0\ \ \ \ (\text{div}\boldsymbol B=0)\end{align*}
または
\begin{align*}\int_S\boldsymbol B\cdot d\boldsymbol S&=0\end{align*}
を導いた。また、磁束保存の式から磁場\(\boldsymbol H\)の定義や磁気分極\(\boldsymbol P_\text m\)・磁化\(\boldsymbol M\)の定義、そして、クーロンの法則(静磁場)が導かれることを確認した。
内容
ファラデー-マクスウェルの式とは
\begin{align*}\boldsymbol \nabla×\boldsymbol E&=-\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t}\ \ \ \ \left(\text{rot}\boldsymbol E=-\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t}\right)\tag{1}\end{align*}
または
\begin{align*}\int_C\boldsymbol E\cdot d\boldsymbol l&=-\int_S\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t}\cdot d\boldsymbol S\tag{2}\end{align*}
をファラデー-マクスウェルの式という。この式は、磁束密度\(\boldsymbol B\)の時間変化があるところにはループしている電場\(\boldsymbol E\)があることを示し、導線は動かずに磁石が動く場合のファラデーの電磁誘導の法則に相当する。
ファラデー-マクスウェルの式は、アンペール-マクスウェルの式
\begin{align*}\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H&=\boldsymbol j+\frac{\partial \boldsymbol D}{\partial t}\ \ \ \ \left(\text{rot}\boldsymbol H=\boldsymbol j+\frac{\partial \boldsymbol D}{\partial t}\right)\end{align*}
または
\begin{align*}\int_C\boldsymbol H\cdot d\boldsymbol l&=\int_S \left(\boldsymbol j+\frac{\partial \boldsymbol D}{\partial t}\right)\cdot d\boldsymbol S\end{align*}
と類似点が多いが、ひとつ大きく違うところは電流\(\boldsymbol j\)に相当する磁流というものが存在していないことである。
ファラデー-マクスウェルの式の導出
ファラデー-マクスウェルの式を導出する。
ファラデーの電磁誘導の法則(以前のページを参照)
\begin{align*}\varepsilon=-\frac{d\varPhi}{dt}\tag{3}\end{align*}
に起電力の定義式
\begin{align*}\varepsilon=\int_C\boldsymbol E\cdot d\boldsymbol l\tag{4}\end{align*}
と磁束の定義式
\begin{align*}\varPhi=\int_S\boldsymbol B\cdot d\boldsymbol S\tag{5}\end{align*}
を代入すると
\begin{align*}\int_C\boldsymbol E\cdot d\boldsymbol l&=-\frac{d}{dt}\int_S\boldsymbol B\cdot d\boldsymbol S\\&=-\int_S\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t}\cdot d\boldsymbol S\tag{2}\end{align*}
式(2)の2行目への変形において全微分から偏微分に変わっている理由について述べておく。
磁束密度\(\boldsymbol B\)は座標\((x,y,z)\)と時間\(t\)を変数にする関数であるため、式(2)の2行目では時間\(t\)に関して偏微分で表記している。
一方、磁束\(\varPhi\)は磁束密度\(\boldsymbol B\)を面積分して求めているため、磁束\(\varPhi\)は時間\(t\)を変数にする関数ではあるが、もはや座標\((x,y,z)\)を変数にした関数ではなく、関数である磁束密度\(\boldsymbol B\)の形によって値が決まる汎関数となっている。そのため、式(2)の1行目では時間\(t\)に関して全微分で表記している。
となって、ファラデー-マクスウェルの式の積分形を求めることができる。
微分形で表したファラデー-マクスウェルの式は次のように求めることができる。閉曲線\(C\)で囲われた面を\(S\)としたとき、ストークスの定理は
\begin{align*}\int_S (\boldsymbol \nabla×\boldsymbol f)\cdot d\boldsymbol S=\int_C \boldsymbol f\cdot d\boldsymbol l\tag{6}\end{align*}
となる(以前のページを参照)ため、積分形で表したファラデー-マクスウェルの式(2)に代入すると
\begin{align*}\int_S (\boldsymbol \nabla×\boldsymbol E)\cdot d\boldsymbol S&=-\int_S\frac{\partial\boldsymbol B}{\partial t}\cdot d\boldsymbol S\tag{7}\end{align*}
となる。ここで、ファラデー-マクスウェルの式(2)はあらゆる閉曲線\(C\)で成り立つため、式(7)の面積分はあらゆる面\(S\)で成り立たなければならず、次式が成り立つ。
\begin{align*}\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E&=-\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t}\ \ \ \ \left(\text{rot}\boldsymbol E=-\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t}\right)\tag{1}\end{align*}
となる。これが、微分形で表したファラデー-マクスウェルの式である。
ファラデー-マクスウェルの式から導かれる式
ファラデーの電磁誘導の法則
ファラデー-マクスウェルの式を導いた際の手続きを逆に行なえば、ファラデー-マクスウェルの式
\begin{align*}\int_C\boldsymbol E\cdot d\boldsymbol l&=-\int_S\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t}\cdot d\boldsymbol S\tag{2}\end{align*}
からファラデーの電磁誘導の法則(以前のページを参照)
\begin{align*}\varepsilon=-\frac{d\varPhi}{dt}\tag{3}\end{align*}
を求めることができる。
次ページから…
次ページでは、マクスウェル方程式を構成するマクスウェル-ガウスの式
\begin{align*}\boldsymbol \nabla\cdot\boldsymbol D&=\rho\ \ \ \ (\text{div}\boldsymbol D=\rho)\end{align*}
または
\begin{align*}\int_S \boldsymbol D\cdot d\boldsymbol S&=Q_\text f\end{align*}
を導く。また、マクスウェル-ガウスの式から電場\(\boldsymbol E\)の定義や分極\(\boldsymbol P\)の定義、そして、クーロンの法則(静電場)が導かれることを確認する。
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