【やさしい電磁気学】ファラデーの電磁誘導の法則

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本ページでは、導体である閉曲線\(C\)に生じる起電力\(\varepsilon\)が閉曲線\(C\)に囲われた面\(S\)を貫く磁束\(\varPhi\)の時間変化率に比例するというファラデーの電磁誘導の法則

\begin{align*}\varepsilon=-\frac{d\varPhi}{dt}\end{align*}

を導く。

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電磁誘導

1831年にマイケル・ファラデーは磁束を変化させると導体に起電力が生じることを発見した。導体である閉曲線\(C\)に生じる起電力\(\varepsilon\)は、閉曲線\(C\)に囲われた面\(S\)を貫く磁束\(\varPhi\)の時間変化率に比例しており、この法則

\begin{align*}\varepsilon=-\frac{d\varPhi}{dt}\tag{1}\end{align*}

をファラデーの電磁誘導の法則という。

磁束を作る磁石と導体の運動は相対的であるため、導体を固定して磁石を動かしても、磁石を固定して導体を動かしても等価である。

ファラデーの電磁誘導の法則の導出

ファラデーの電磁誘導の法則を導出する。ここでは、磁束\(\varepsilon\)は時間変化せず、導体である閉曲線\(C\)が動くと考える。

閉曲線\(C\)上にある点を位置ベクトル\(\boldsymbol r\)で表し、その点が速度\(\boldsymbol v(\boldsymbol r)\)で動いているとすると、閉曲線\(C\)上に存在する電荷\(q\)の粒子はローレンツ力

\begin{align*}\boldsymbol F(\boldsymbol r)=q\boldsymbol v(\boldsymbol r)×\boldsymbol B(\boldsymbol r)\tag{2}\end{align*}

を受ける(以前のページを参照)。そして、電場\(\boldsymbol E(\boldsymbol r)\)とローレンツ力\(\boldsymbol F(\boldsymbol r)\)の関係は

\begin{align*}\boldsymbol F(\boldsymbol r)=q\boldsymbol E(\boldsymbol r)\tag{3}\end{align*}

であるため、閉曲線\(C\)上の電場\(\boldsymbol E(\boldsymbol r)\)は

\begin{align*}\boldsymbol E(\boldsymbol r)=\boldsymbol v(\boldsymbol r)×\boldsymbol B(\boldsymbol r)\tag{4}\end{align*}

となる。そして、起電力\(\varepsilon\)は電場\(\boldsymbol E\)の線積分で求めることができるため、大きさが微小距離\(dl\)の値に等しく、向きが微小距離\(dl\)の接線の向きに等しい線素\(d\boldsymbol l\)を定義したとき、閉曲線\(C\)上の起電力\(\varepsilon\)は

\begin{align*}\varepsilon&=\int_C\boldsymbol E\cdot d\boldsymbol l\\&=\int_C(\boldsymbol v×\boldsymbol B)\cdot d\boldsymbol l\tag{5}\end{align*}

となる。

次に、閉曲線\(C\)が速度\(\boldsymbol v(\boldsymbol r)\)で微小時間\(dt\)だけ動いた際に、閉曲線\(C\)上の線素\(d\boldsymbol l\)が掃く平行四辺形の面積\(dS’\)は

\begin{align*}dS’&=\vert\boldsymbol v dt\vert\vert d\boldsymbol l\vert\sin\theta\\&=\vert \boldsymbol v dt×d\boldsymbol l\vert\tag{6}\end{align*}

となり、大きさが微小面積\(dS’\)の値に等しく、向きが微小面積\(dS’\)の法線の向きに等しい面積素\(d\boldsymbol S’\)は

\begin{align*}d\boldsymbol S’=\boldsymbol vdt×d\boldsymbol l\tag{7}\end{align*}

となる。磁束の面密度である磁束密度\(\boldsymbol B\)と面積素\(d\boldsymbol S’\)の内積をとると微小面積\(dS’\)を貫く磁束となり、閉曲線\(C\)において線積分したもの

\begin{align*}\int_C\boldsymbol B\cdot d\boldsymbol S’\tag{8}\end{align*}

は閉曲線\(C\)が速度\(\boldsymbol v(\boldsymbol r)\)で微小時間だけ動いた際に閉曲線\(C\)が掃く面\(S’\)を貫いた磁束となる。この磁束の値は微小時間の間に閉曲線\(C\)に囲われた面\(S\)を貫く磁束の変化量\(d\varPhi\)であり、

\begin{align*}d\varPhi&=\int_C\boldsymbol B\cdot d\boldsymbol S\\&=\int_C\boldsymbol B\cdot(\boldsymbol v×d\boldsymbol l)dt\\&=\int_C(\boldsymbol B×\boldsymbol v)\cdot d\boldsymbol ldt\\&=-\int_C(\boldsymbol v×\boldsymbol B)\cdot d\boldsymbol ldt\tag{9}\end{align*}

途中式

4行目への変形ではベクトルのスカラー三重積の性質

\begin{align*}\boldsymbol A\cdot(\boldsymbol B×\boldsymbol C)=(\boldsymbol A×\boldsymbol B)\cdot\boldsymbol C)\end{align*}

を用いた。

となる。最後に、微小時間\(dt\)で割ると

\begin{align*}\frac{d\varPhi}{dt}&=-\int_C(\boldsymbol v×\boldsymbol B)\cdot d\boldsymbol l\tag{10}\end{align*}

となり、この式と式(5)よりファラデーの電磁誘導の法則

\begin{align*}\varepsilon=-\frac{d\varPhi}{dt}\tag{1}\end{align*}

が導かれる。

磁気力線ではなく磁束を用いる理由

ファラデーの電磁誘導の法則において、磁束を用いて表した。磁気力線を用いて表さなかった理由は、電磁誘導という現象は動く電荷(電流)に力場が力を及ぼすと考えるE-B対応の現象であり、E-B対応における力場は磁束密度だからである。

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