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本ページでは、フェルミ粒子数演算子の固有値は\(0\)と\(1\)のみで、行列表示で対角化すると
\begin{align*}\left(\begin{array}{c}0&0\\0&1\end{array}\right)\end{align*}
となることを見る。また、対角化されたフェルミ粒子数演算子を導くグラスマン数\(\eta’\)を行列で表すと
\begin{align*}\boldsymbol\eta’&=\sqrt{\hbar}\left(\begin{array}{c}0&0\\e^{+i\alpha}&0\end{array}\right)\end{align*}
となり、これをユニタリ行列で挟んだものもグラスマン数になることを見る。
内容
フェルミ粒子数演算子\(\hat{ F}\)は固有値が\(0\)と\(1\)だけの演算子であり、グラスマン数\(\eta\)を用いて次のように表せる。演算子\(\hat F\)がエルミート演算子で\(\hat F=\hat F^\dagger\)であることは、形からすぐにわかる。
\begin{align*}\hat F=\frac{1}{\hbar}\eta\eta^\dagger\tag{1}\end{align*}
超対称場の量子論では\(\eta\)がスピンの自由度を持っているため\(\hat F\)はフェルミ粒子数を数える演算子だが、超対称量子力学では\(\eta\)がスピンの自由度を持たないため厳密にはフェルミ粒子数を数える演算子ではない。
グラスマン数の量子化条件は
\begin{align*}\{\eta,\eta^\dagger\}&=\eta\eta^\dagger+\eta^\dagger\eta\\&=\hbar\tag{2}\\\eta^2=(\eta^\dagger)^2&=0\tag{3}\end{align*}
であるため、フェルミ粒子数演算子の2乗\(\hat F^2\)は
\begin{align*}\hat F^2&=\frac{1}{\hbar^2}\eta\eta^\dagger\eta\eta^\dagger\\&=\frac{1}{\hbar^2}\eta(-\eta\eta^\dagger+\hbar)\eta^\dagger\\&=\frac{1}{\hbar}\eta\eta^\dagger\\&=\hat F\tag{4}\end{align*}
となり、フェルミ粒子数演算子\(\hat F\)に等しいことが分かる。
※※※1行目の変換では式(1)を用い、2行目への変換では式(2)を用い、3行目への変換では式(3)を用いた。※※※
フェルミ粒子数演算子の固有関数を\(\psi\)として固有値を\(\gamma\)とすると、
\begin{align*}\hat F\psi&=\gamma\psi\tag{5}\\\hat F^2\psi&=\gamma^2\psi\tag{6}\end{align*}
が成り立ち、式(4)より
\begin{align*}\gamma=\gamma^2\tag{7}\end{align*}
であるから固有値\(\gamma\)は\(0\)または\(1\)のみであることが分かる。
ここからは、フェルミ粒子数演算子\(\hat F\)とグラスマン数\(\eta\)が行列の形であると考える。以後、フェルミ粒子数演算子とグラスマン数\(\eta\)が行列であるときは\(\hat{\boldsymbol F}\)および\(\boldsymbol \eta\)と記す。
グラスマン数\(\boldsymbol \eta\)をユニタリ行列\(\boldsymbol U\)で次のように変換したグラスマン数\(\boldsymbol\eta’\)
\begin{align*}\boldsymbol \eta\rightarrow\boldsymbol\eta’=\boldsymbol U{\boldsymbol \eta}\boldsymbol U^{-1}\tag{8}\\\boldsymbol \eta^\dagger\rightarrow\boldsymbol \eta’^\dagger=\boldsymbol U{\boldsymbol \eta^\dagger}\boldsymbol U^{-1}&\tag{9}\end{align*}
も量子化条件(2),(3)を満たす。このことは、実際に計算すると成立することが分かる。
\begin{align*}\{\boldsymbol\eta’,\boldsymbol\eta’^\dagger\}&=\boldsymbol\eta’\boldsymbol\eta’^\dagger+\boldsymbol\eta’^\dagger\boldsymbol\eta’\\&=\boldsymbol U\boldsymbol\eta\boldsymbol\eta^\dagger\boldsymbol U^{-1}+\boldsymbol U\boldsymbol\eta^\dagger\boldsymbol\eta\boldsymbol U^{-1}\\&=\boldsymbol U\{\boldsymbol\eta,\boldsymbol\eta^\dagger\}\boldsymbol U^{-1}\\&=\hbar\boldsymbol I\tag{10}\\\boldsymbol \eta’^2&=\boldsymbol U\boldsymbol\eta^2\boldsymbol U^{-1}\\&=\boldsymbol 0\tag{11}\\(\boldsymbol \eta’^\dagger)^2&=\boldsymbol U(\boldsymbol\eta^{\dagger})^2\boldsymbol U^{-1}\\&=\boldsymbol 0\tag{12}\end{align*}
※※※式(10)の2行目への変換では式(8),(9)を用い、4行目の変換では量子化条件(2)を用いた。また、式(11),(12)の1行目の変換では式(8),(9)を用い、2行目の変換では量子化条件(3)を用いた。※※※
フェルミ粒子数演算子\(\hat F\)はエルミート演算子であるため、行列表示のフェルミ粒子数演算子\(\hat {\boldsymbol F}\)はエルミート行列となる。エルミート行列はユニタリ行列\(\boldsymbol U\)で挟むと対角化が可能であるため、適切なユニタリ行列を選ぶことでフェルミ粒子数演算子\(\hat{\boldsymbol F}\)
\begin{align*}\hat{\boldsymbol F}=\frac{1}{\hbar}\boldsymbol \eta\boldsymbol \eta^\dagger\tag{1}\end{align*}
をユニタリ行列\(\boldsymbol U\)で挟んだフェルミ粒子数演算子\(\boldsymbol U\hat{\boldsymbol F}\boldsymbol U^{-1}=\hat{\boldsymbol F}’\)は対角化される。
\begin{align*}\boldsymbol U\hat{\boldsymbol F}\boldsymbol U^\dagger&=\frac{1}{\hbar}\boldsymbol U\boldsymbol \eta\boldsymbol \eta^\dagger\boldsymbol U^\dagger\\\rightarrow\hat{\boldsymbol F}’&=\frac{1}{\hbar}\boldsymbol\eta’\boldsymbol\eta’^\dagger\tag{13}\end{align*}
そして、その時の対角成分は固有値である\(0\)と\(1\)になる。
\begin{align*}\hat{\boldsymbol F’}=\left(\begin{array}{c}0&0\\0&1\end{array}\right)\tag{14}\end{align*}
この対角化された行列(13)を用いることで、グラスマン数を行列で表すことができる。式(10)の両辺に左から\(\boldsymbol \eta’\)を作用させると
\begin{align*}\boldsymbol\eta’\boldsymbol\eta’^\dagger+\boldsymbol\eta’^\dagger\boldsymbol\eta’=\hbar\boldsymbol I\\(\boldsymbol\eta’\boldsymbol\eta’^\dagger-\hbar\boldsymbol I)\boldsymbol\eta’=\boldsymbol 0\\(\hat {\boldsymbol F’}-\boldsymbol I)\boldsymbol \eta’=\boldsymbol 0\\\left(\begin{array}{c}-1&0\\0&0\end{array}\right)\boldsymbol\eta’=\boldsymbol 0\tag{15}\end{align*}
と変形できる。
※※※2行目への変換では式(11)を用い、3行目への変換では式(13)を用い、4行目への変換では式(14)を用いた。※※※
ここで、グラスマン数\(\boldsymbol\eta’\)を次のように表す。
\begin{align*}\boldsymbol\eta’=\left(\begin{array}{c}a&b\\c&d\end{array}\right)\tag{16}\end{align*}
そして、式(15)を計算すると
\begin{align*}\left(\begin{array}{c}-1&0\\0&0\end{array}\right)\boldsymbol\eta’&=\left(\begin{array}{c}-a&-b\\0&0\end{array}\right)\\&=\boldsymbol 0\tag{17}\end{align*}
となり、\(a\)と\(b\)は\(0\)でなければならないことが分かる。
\begin{align*}\boldsymbol\eta’=\left(\begin{array}{c}0&0\\c&d\end{array}\right)\tag{18}\end{align*}
次に、量子化条件(11)を計算すると
\begin{align*}\boldsymbol\eta’^2&=\left(\begin{array}{c}0&0\\cd&d^2\end{array}\right)\\&=\boldsymbol 0\tag{19}\end{align*}
となり、\(d\)も\(0\)でなければならないことが分かる。
\begin{align*}\boldsymbol\eta=\left(\begin{array}{c}0&0\\c&0\end{array}\right)\tag{20}\end{align*}
最後に量子化条件(10)を計算すると
\begin{align*}\boldsymbol\eta’\boldsymbol\eta’^\dagger+\boldsymbol\eta’^\dagger\boldsymbol\eta’=\left(\begin{array}{c}cc^*&0\\0&cc^*\end{array}\right)=\hbar\boldsymbol I\tag{21}\end{align*}
となり、\(c\)は\(\sqrt{\hbar}e^{+i\alpha}\)でなければならないことが分かる。
よって、行列表示したグラスマン数\(\boldsymbol\eta’\),\(\boldsymbol\eta’^\dagger\)は
\begin{align*}\boldsymbol\eta’&=\sqrt{\hbar}\left(\begin{array}{c}0&0\\e^{+i\alpha}&0\end{array}\right)\tag{22}\\\boldsymbol\eta’^\dagger&=\sqrt{\hbar}\left(\begin{array}{c}0&e^{-i\alpha}\\0&0\end{array}\right)\tag{23}\end{align*}
と表現できる。そして、式(8),(9)より、式(22),(23)をユニタリ行列で挟んだものもグラスマン数となる。
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