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本ページでは…
本ページでは、ある保存量\(Q\)が存在するとき、物理量\(A\)が次の無限小変化量
\begin{align*}\delta_QA[\phi,\pi]&=-\{Q,A[\phi,\pi]\}\end{align*}
だけ変化する無限小変換で不変性が存在することを表すハミルトン力学における場の理論のネーターの定理を導く。また、量子力学において、無限小変化量は
\begin{align*}\delta_QA[\phi,\pi]&=\frac{i}{\hbar}[\hat Q,\hat A[\hat \phi,\hat p]]\end{align*}
と表されることも確認する。
前ページまで…
前ページでは、場の理論におけるネーターの定理を用いることによりローレンツ不変性から全角運動量保存則が導かれることを確認した。
内容
ハミルトン力学におけるネーターの定理
ある連続的な無限小変換において不変性が存在するとき、ラグランジュ力学における場の理論のネーターの定理から、対応する保存量\(Q\)
\begin{align*}Q=\int d^3\boldsymbol x\ N^0\tag{1}\end{align*}
が導かれた。ここで、\(N^0\)は次のネーターカレント
\begin{align*}N^\mu=\sum_{i=1}^n\delta_Q \phi_i\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_\mu\phi_i)}-K^\mu\tag{2}\end{align*}
の時間成分である。
実は、この逆の関係も成り立つ。ある保存量\(Q\)が存在するとき、ハミルトン力学における場の理論のネーターの定理から、物理量\(A\)が次の無限小変化量
\begin{align*}\delta_QA[q,p]&=-\{Q,A[q,p]\}\tag{3}\end{align*}
だけ変化する無限小変換で不変性が存在する。
ネーターの定理の導出
保存量と無限小変換の関係性を表すハミルトン力学における場の理論のネーターの定理を導く。
場\(\phi\)と正準共役運動量\(\pi\)が次のような無限小変換
\begin{align}\phi&\rightarrow \phi’=\phi+\delta_Q \phi\tag{4}\\\pi&\rightarrow \pi’=\pi+\delta_Q\pi\tag{5}\end{align}
するとき、ハミルトニアンの変化量\(\delta_Q H\)は
\begin{align*}\delta_Q H&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta H}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\delta_Q \phi+\frac{\delta H}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)}\delta_Q \pi\right)\tag{6}\end{align*}
となり(以前のページを参照)、この無限小変換によって物理法則が変わらない、つまり、ハミルトニアン\(H\)が変わらないとき、
\begin{align*}\delta_Q H&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta H}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\delta_Q \phi+\frac{\delta H}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)}\delta_Q \pi\right)\\&=0\tag{7}\end{align*}
が成り立つ。ここで、保存量\(Q\)の時間微分を計算すると
\begin{align*}\frac{dQ}{dt}&=-\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta H}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta Q}{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}-\frac{\delta H}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta Q}{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}\right)\tag{8}\end{align*}
\begin{align*}\frac{dQ}{dt}&=\{Q,H\}\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta Q}{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}\frac{\delta H}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta Q}{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}\frac{\delta H}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&=-\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta H}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta Q}{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}-\frac{\delta H}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta Q}{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}\right)\end{align*}
1行目の等号では、時間微分とポアソン括弧の関係式(以前のページを参照)
\begin{align*}\frac{dX}{dt}=\{X,H\}\end{align*}
を用い、2行目への変形では場の理論におけるポアソン括弧の定義式(以前のページを参照)
\begin{align}\left\{X,Y\right\}=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta X}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta Y}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta X}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta Y}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\end{align}
を用いた。
となるが、\(Q\)は保存量であるため次式
\begin{align*}\frac{dQ}{dt}=0\tag{9}\end{align*}
が成り立つから、式(8)は
\begin{align*}\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta H}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta Q}{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}-\frac{\delta H}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta Q}{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}\right)=0\tag{10}\end{align*}
となる。式(7)と式(10)を見比べると
\begin{align*}\delta_Q\phi&=\frac{\delta Q}{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}\tag{11}\\\delta_Q\pi&=-\frac{\delta Q}{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}\tag{12}\end{align*}
が成り立つことが分かり、それぞれ式変形を続けていくと不変性に対応する無限小変化量がポアソン括弧を用いて次のように得られる。
\begin{align*}\delta_Q\phi&=\frac{\delta Q}{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}\\&=-\int d^3\boldsymbol x\ \left(\frac{\delta Q}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta Q}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&=-\{Q,\phi(t,\boldsymbol y)\}\tag{13}\\\delta_Q\pi&=-\frac{\delta Q}{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}\\&=-\int d^3\boldsymbol x\ \left(\frac{\delta Q}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta Q}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&=-\{Q,\pi(t,\boldsymbol y)\}\tag{14}\end{align*}
ここで、式(13)と式(14)において2行目への変形では次の関係式
\begin{align*}\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}&=\frac{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)}=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{15}\\\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)}&=\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)}=0\tag{16}\end{align*}
を用い、3行目への変形ではポアソン括弧の定義式
\begin{align}\left\{X,Y\right\}=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta X}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta Y}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta X}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta Y}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\tag{17}\end{align}
を用いた。
式(13)と式(14)はまとめることができ、\(\phi\)と\(\pi\)から成る汎関数\(A[\phi,\pi]\)の無限小変化量を計算すると
\begin{align*}\delta_Q A[\phi,\pi]&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr A}{\partial \phi(t,\boldsymbol x)}\delta_Q \phi+\frac{\partial \mathscr A}{\partial \pi(t,\boldsymbol x)}\delta_Q \pi-\delta_Q \phi\partial_i\frac{\partial \mathscr A}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta A}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\delta_Q \phi+\frac{\delta A}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)}\delta_Q \pi\right)\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta A}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta Q}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta A}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta Q}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&=-\{Q,A[\phi,\pi]\}\tag{18}\end{align*}
となる。ここで、式(18)において、1行目の等号では式(6)
\begin{align*}\delta_Q H&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta H}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\delta_Q \phi+\frac{\delta H}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)}\delta_Q \pi\right)\tag{6}\end{align*}
の関係式がハミルトニアン\(H\)だけでなくどのような物理量でも成り立つことを用い、2行目への変形では式(11)と式(12)を用い、3行目への変形ではポアソン括弧の定義式(17)を用いた。
この式(18)が表すことは、物理量\(Q\)が保存するとき、｢保存量\(Q\)｣と｢物理量\(A[\phi,\pi]\))｣のポアソン括弧で表される無限小変化量\(\delta_NA[\phi,\pi]\)だけ変化する無限小変換でも物理法則が変わらない、つまり、不変性が存在するということである。
量子力学におけるネーターの定理
正準量子化を行なうと、次のようにポアソン括弧を交換関係に変形できることを以前のページで見た。
\begin{align*}\{A,B\}=\frac{1}{i\hbar}[\hat A,\hat B]\tag{19}\end{align*}
ここで、無限小変化量の式(18)を正準量子化すると量子力学における無限小変化量の式
\begin{align*}\delta_NA[\phi,\pi]&=-\{N,A[\phi,\pi]\}\\&=\frac{i}{\hbar}[\hat N,\hat A[\hat \phi,\hat\pi]]\tag{20}\end{align*}
が得られる。この式が表すことは、物理量\(N\)が保存するとき、｢保存量\(Q\)の演算子\(\hat Q\)｣と｢物理量\(A[\phi,\pi]\)の演算子\(\hat A[\hat \phi,\hat \pi]\)｣との交換関係で表される無限小変化量\(\delta_NA[\phi,\pi]\)だけ変化する無限小変換でも物理法則は変わらない、つまり、不変性が存在するということである。
次ページから⋯
次ページでは、ハミルトン力学における場の理論のネーターの定理を用いることにより、全エネルギー運動量保存則から時空並進不変性が導かれることを確認し、エネルギー運動量\(\hat{ P}^\nu\)は時空並進の生成子であることを確認する。
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