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本ページでは、マクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu\end{align*}
を導出する作用積分\(S\)
\begin{align}S&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}- A_\mu j^\mu\right)\end{align}
を求め、作用積分\(S\)が相対論的不変性とゲージ不変性を持つことを確かめる。
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前ページでは、マクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu\end{align*}
を導出するラグランジアン密度\(\mathscr{L}\)
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-A_\mu j^\mu\end{align}
を求め、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)が相対論的不変性とゲージ不変性を持つことを確かめた。
内容
ゲージ場の作用積分
マクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu\tag{1}\end{align*}
を導出するラグランジアン密度\(\mathscr{L}\)は
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}- A_\mu j^\mu\tag{2}\end{align}
であるため、作用積分\(S\)は
\begin{align}S&=\int d^4x\ \mathscr{L}\\&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-A_\mu j^\mu\right)\tag{3}\end{align}
となる。
作用積分の相対論的不変性
ゲージ場の作用積分\(S\)が相対論的不変性を持つことを確認する。
ゲージ場の作用積分\(S\)
\begin{align}S&=\int d^4x\ \mathscr{L}\\&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-A_\mu j^\mu\right)\tag{3}\end{align}
において、ローレンツ変換によって微小時空体積\(d^4x\)と電磁場テンソル\(F_{\mu\nu}\),\(F^{\mu\nu}\)、ゲージ場\(A_\mu\)、4元電流密度\(j^\mu\)が次のように変換
\begin{align*}d^4x&\rightarrow d^4x’\\F_{\mu\nu}&\rightarrow F’_{\mu\nu}\\F^{\mu\nu}&\rightarrow F’^{\mu\nu}\\A_\mu&\rightarrow A’_\mu\\j^\mu&\rightarrow j’^\mu\end{align*}
する際、変換後の作用積分\(S’\)は
\begin{align}S’&=\int d^4x’\ \left(-\frac{1}{4}F’_{\mu\nu}F’^{\mu\nu}-A’_\mu j’^\mu\right)\tag{4}\end{align}
となる。また、微小時空体積\(d^4x\)はスカラーなためローレンツ変換によって変化しない
\begin{align*}d^4x=d^4x’\tag{5}\end{align*}
が、ゲージ場\(A_\mu\)と4元電流密度\(j^\mu\)はローレンツ変換の下でベクトルとして変換(以前のページを参照)
\begin{align*}A’_\mu&=A_\rho(\varLambda^{-1})^\rho{}_\mu\tag{6}\\j’^\mu&=\varLambda^\mu{}_\nu j^\nu\tag{7}\end{align*}
し、電磁場テンソル\(F_{\mu\nu}\),\(F^{\mu\nu}\)はローレンツ変換の下でテンソルとして変換(以前のページを参照)
\begin{align*}F’_{\mu\nu}&=F_{\rho\gamma}(\varLambda^{-1})^\rho{}_\mu(\varLambda^{-1})^\gamma{}_\nu\tag{8}\\F’^{\mu\nu}&=\varLambda^\mu{}_\tau\varLambda^\nu{}_\kappa F^{\tau\kappa}\tag{9}\end{align*}
するため、作用積分\(S’\)
\begin{align}S’&=\int d^4x’\ \left(-\frac{1}{4}F’_{\mu\nu}F’^{\mu\nu}-A’_\mu j’^\mu\right)\\&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F_{\rho\gamma}(\varLambda^{-1})^\rho{}_\mu(\varLambda^{-1})^\gamma{}_\nu\varLambda^\mu{}_\tau\varLambda^\nu{}_\kappa F^{\tau\kappa}- A_\rho(\varLambda^{-1})^\rho{}_\mu \varLambda^\mu{}_\nu j^\nu\right)\\&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F_{\rho\gamma}\delta^\rho{}_\tau \delta^\gamma{}_\kappa F^{\tau\kappa}- A_\rho\delta^\rho{}_\nu j^\nu\right)\\&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F_{\rho\gamma}F^{\rho\gamma} -A_\nu j^\nu\right)\tag{10}\end{align}
はローレンツ変換前の作用積分\(S\)と等しくなり、ゲージ場の作用積分\(S\)は相対論的不変性を持つことが分かる。
マクスウェル方程式は作用原理によって作用積分\(S\)から導かれるため、作用積分\(S\)が持つ相対論的不変性はマクスウェル方程式に受け継がれる。
作用積分のゲージ不変性
ゲージ場の作用積分\(S\)がゲージ不変性も持つことを確認する。
ゲージ変換によってゲージ場\(A_\mu\),\(A^\mu\)が次のように変換
\begin{align*}A_\mu\rightarrow A’_\mu=A_\mu+\partial_\mu\varLambda\\A^\mu\rightarrow A’^\mu=A^\mu+\partial^\mu\varLambda\end{align*}
するとき、電磁場テンソル\(F_{\mu\nu}\),\(F^{\mu\nu}\)はゲージ変換の下で不変
\begin{align*}F_{\mu\nu}\rightarrow F’_{\mu\nu}&=\partial_\mu A’_\nu-\partial_\nu A’_\mu\\&=\partial_\mu A_\nu+\partial_\mu\partial_\nu\varLambda-\partial_\nu A_\mu-\partial_\nu\partial_\mu\varLambda\\&=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\\&=F_{\mu\nu}\\F^{\mu\nu}\rightarrow F’^{\mu\nu}&=\partial^\mu A’^\nu-\partial^\nu A’^\mu\\&=\partial^\mu A^\nu+\partial^\mu\partial^\nu\varLambda-\partial^\nu A^\mu-\partial^\nu\partial^\mu\varLambda\\&=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu\\&=F^{\mu\nu}\end{align*}
である。ゲージ場の作用積分\(S\)
\begin{align}S&=\int d^4x\ \mathscr{L}\\&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-A_\mu j^\mu \right)\tag{3}\end{align}
において、ゲージ変換すると
\begin{align}S’&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F’_{\mu\nu}F’^{\mu\nu}-A’_\mu j^\mu\right)\\&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}- A_\mu j^\mu- (\partial_\mu\varLambda)j^\mu\right)\\&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-j^\mu A_\mu- \partial_\mu(j^\mu\varLambda)+( \partial_\mu j^\mu)\varLambda\right)\tag{11}\end{align}
となって、流れの保存の式(以前のページを参照)
\begin{align*} \partial_\mu j^\mu=0\tag{12}\end{align*}
と、全微分項\(\partial_\mu(j^\mu\varLambda)\)の作用積分がゼロになり運動方程式に関与しないこと(以前のページを参照)を用いると式(11)は
\begin{align}S’&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}- A_\mu j^\mu\right)\tag{13}\end{align}
となって、ゲージ変換前の作用積分\(S\)と等しくなり、ゲージ場の作用積分\(S\)はゲージ不変性を持つことが分かる。
マクスウェル方程式は作用原理によって作用積分\(S\)から導かれるため、作用積分\(S\)がもつゲージ不変性はマクスウェル方程式に受け継がれる。
次ページから…
次ページでは、ゲージ場\(A_\nu\)の正準共役運動量\(\pi^\nu\)
\begin{align}\pi^\nu=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0A_\nu}=F^{\nu0}\end{align}
を求め、ルジャンドル変換
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ ((\partial^0A_\nu)\pi^\nu-\mathscr L)\end{align*}
によってマクスウェル方程式におけるハミルトニアン
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\boldsymbol \pi^2+\frac{1}{2}(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A)^2-\boldsymbol j\cdot\boldsymbol A+\rho A_0+\boldsymbol\pi\cdot\boldsymbol\nabla A_0\right)\end{align*}
を求める。
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