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本ページでは…
本ページでは、自然単位系においてゲージ場\(A^\nu\)の質量次元は\(1\)であり、4元電流密度\(j^\nu\)の質量次元は\(3\)であることを確認する。
前ページまで…
前ページでは、ゲージ場\(A_\mu\)の正準共役運動量\(\pi^\mu\)
\begin{align}\pi^\nu=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0A_\nu}=F^{\nu0}\end{align}
を求め、ルジャンドル変換
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ ((\partial^0A_\nu)\pi^\nu-\mathscr L)\end{align*}
によってプロカ方程式におけるハミルトニアン
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\boldsymbol \pi^2+\frac{1}{2}(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A)^2+\frac{m^2}{2}(A_0)^2+\frac{m^2}{2}\boldsymbol A^2\right)\end{align*}
を求めた。
内容
ゲージ場の質量次元
自然単位系(以前のページを参照)におけるゲージ場\(A^\nu\)の質量次元を求める。ここでは、物理量の質量次元\(n\)を角括弧を用いて[物理量]と表す。
\begin{align*}[物理量]=[質量^n]=n\tag{1}\end{align*}
以前のページで、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)の質量次元は\(4\)
\begin{align*}[\mathscr L]&=[質量^4]\\&=4\tag{2}\end{align*}
であり、微分演算子の質量次元は\(1\)
\begin{align*}[\partial_\mu]&=[\partial^\mu]\\&=[質量]\\&=1\tag{3}\end{align*}
であった。そのため、マクスウェル方程式を導くラグランジアン密度
\begin{align}\mathscr{L}&=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-j^\mu A_\mu\\&=-\frac{1}{4}(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)(\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)-j^\mu A_\mu\\&=-\frac{1}{4}(\partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu-\partial_\mu A_\nu\partial^\nu A^\mu-\partial_\nu A_\mu\partial^\mu A^\nu+\partial_\nu A_\mu\partial^\nu A^\mu)-j^\mu A_\mu\\&=-\frac{1}{2}(\partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu-\partial_\mu A_\nu\partial^\nu A^\mu)-j^\mu A_\mu\tag{4}\end{align}
であるから、第1項より
\begin{align*}[\mathscr L]&=\left[\partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu\right]\\&=[質量^2×A_\nu×A^\nu]\\&=4\tag{5}\end{align*}
が成り立ち、ゲージ場\(A^\nu\)の質量次元は\(1\)
\begin{align*}[A_\nu]&=[A^\nu]\\&=[質量]\\&=1\tag{6}\end{align*}
であることが分かり、第3項より
\begin{align*}[\mathscr L]&=\left[j^\mu A_\mu\right]\\&=[質量×j^\mu]\\&=4\tag{7}\end{align*}
が成り立ち、4元電流密度\(j_\mu\)の質量次元は\(3\)
\begin{align*}[j^\mu]&=[質量]\\&=3\tag{8}\end{align*}
であることが分かる。
次ページから…
次ページでは、クライン-ゴルドン方程式の知識を使わず、クライン-ゴルドン方程式を導くラグランジアン密度を実スカラー場の次元解析から求める。
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