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本ページでは、勾配がスカラー場の各点のスカラー値を、向きが｢傾きの向き｣で大きさが｢傾きのきつさ｣であるベクトルに置き換える作用素であることをみる。また、3次元デカルト座標では勾配\(\boldsymbol\nabla\)は
\begin{align*}\boldsymbol\nabla=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)\end{align*}
となることを求める。
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前ページでは、スカラー場は空間または時空の各点にスカラー値を対応させた場であり、ベクトル場はベクトルを対応させた場であることを確認した。
内容
勾配
スカラー場の各点におけるスカラー値を、向きが｢傾きの向き(スカラー値の変化率が最大となる向き)｣で大きさが｢傾きのきつさ(その最大の変化率)｣である勾配ベクトルに対応させる作用素(演算子)を勾配といい、ナブラ\(\boldsymbol\nabla\)または\(\text{grad}\)で表す。この勾配によって、スカラー場は勾配ベクトル場と呼ばれるベクトル場に変換され、スカラー場を\(f(x,y,z)\)とすると勾配ベクトル場は\(\boldsymbol \nabla f\)と表される。つまり、常に勾配はスカラー場に作用し、作用後はベクトル場となる。
3次元デカルト座標における勾配
3次元デカルト座標における勾配が
\begin{align*}\boldsymbol\nabla=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)\tag{1}\end{align*}
となること、言い換えると勾配ベクトル\(\boldsymbol\nabla f\)
\begin{align*}\boldsymbol \nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)\tag{2}\end{align*}
の向きが｢傾きの向き(スカラー値の変化率が最大となる向き)｣で大きさが｢傾きのきつさ(その最大の変化率)｣であることを確認する。
初めに、スカラー場\(f\)の点\((x,y,z)\)において\(x\)軸方向に\(\Delta x\)、\(y\)軸方向に\(\Delta y\)、\(z\)軸方向に\(\Delta z\)だけ移動したときの変化量\(\Delta f\)は
\begin{align*}\Delta f=\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+\frac{\partial f}{\partial z}\Delta z\tag{3}\end{align*}
となる。また、この変化量\(\Delta f\)は内積を用いると
\begin{align*}\Delta f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)\cdot(\Delta x,\Delta y,\Delta z)\tag{4}\end{align*}
と書く事ができ、勾配ベクトル
\begin{align*}\boldsymbol\nabla f&=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)\tag{5}\end{align*}
と移動ベクトル
\begin{align*}\boldsymbol r&=(\Delta x,\Delta y,\Delta z)\tag{6}\end{align*}
を定義すると、勾配ベクトル\(\boldsymbol \nabla f\)と移動ベクトル\(\boldsymbol r\)のなす角\(\theta\)を用いて変化量\(\Delta f\)は
\begin{align*}\Delta f=\vert\boldsymbol \nabla f\vert\vert\boldsymbol r\vert\cos\theta\tag{7}\end{align*}
と表すことができる。式(7)を変形すると
\begin{align*}\frac{\Delta f}{\vert\boldsymbol r\vert}=\vert\boldsymbol \nabla f\vert\cos\theta\tag{8}\end{align*}
となり、\(\vert\boldsymbol r\vert\)は移動距離であるから\(\frac{\Delta f}{\vert\boldsymbol r\vert}\)は変化率であり、変化率が最大となるときは移動ベクトル\(\boldsymbol r\)の向きが勾配ベクトル\(\boldsymbol \nabla f\)の向きと等しくなるとき(\(\theta=0\)のとき)である。このとき、移動ベクトル\(\boldsymbol r\)の向きは変化率が最大となる向きであるため、勾配ベクトル\(\boldsymbol\nabla f\)の向きは｢傾きの向き(スカラー値の変化率が最大となる向き)｣となることが分かる。また、式(8)は
\begin{align*}\frac{\Delta f}{\vert\boldsymbol r\vert}=\vert\boldsymbol \nabla f\vert\tag{9}\end{align*}
となり、勾配ベクトルの大きさ\(\vert\boldsymbol \nabla f\vert\)は｢傾きのきつさ(最大の変化率)｣となることが分かる。
3次元球面座標における勾配
3次元デカルト座標のときと同様に、3次元球面座標\((r,\theta,\phi)\)において勾配\(\boldsymbol\nabla\)は
\begin{align*}\boldsymbol\nabla=\left(\frac{\partial }{\partial r},\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta},\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial }{\partial \phi}\right)\tag{10}\end{align*}
書くことができる。
3次元円筒座標における勾配
3次元円筒座標\((\rho,\phi,z)\)において勾配\(\boldsymbol\nabla\)は
\begin{align*}\boldsymbol\nabla=\left(\frac{\partial }{\partial \rho},\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \phi},\frac{\partial }{\partial z}\right)\tag{11}\end{align*}
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