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本ページでは、距離のべき乗\(\vert\boldsymbol r\vert^n\)で表されるスカラー場\(f=\vert\boldsymbol r\vert^n\)の勾配ベクトル\(\boldsymbol\nabla f\)が
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\vert\boldsymbol r\vert^n=n\vert\boldsymbol r\vert^{n-2}\boldsymbol r\end{align*}
となり、位置ベクトル\(\boldsymbol r\)と定数ベクトル\(\boldsymbol a=(a_x,a_y,a_z)\)との内積で表されるスカラー場\(f=(\boldsymbol r\cdot\boldsymbol a)\)の勾配ベクトル\(\boldsymbol\nabla f\)は
\begin{align*}\boldsymbol\nabla(\boldsymbol r\cdot\boldsymbol a)=\boldsymbol a\end{align*}
となることをみる。
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前ページでは、勾配がスカラー場の各点のスカラー値を、向きが｢傾きの向き｣で大きさが｢傾きのきつさ｣であるベクトルに置き換える作用素であることをみた。また、3次元デカルト座標では勾配\(\boldsymbol\nabla\)は
\begin{align*}\boldsymbol\nabla=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)\end{align*}
となることをみた。
内容
距離のべき乗の勾配
原点からある点\((x,y,z)\)までの距離を
\begin{align*}\vert\boldsymbol r\vert=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\tag{1}\end{align*}
としたとき、スカラー場\(f(x,y,z)\)が距離のべき乗\(\vert\boldsymbol r\vert^n\)で表されるならば、勾配\(\boldsymbol \nabla\)を作用させた勾配ベクトル\(\boldsymbol\nabla f\)は次のようになる。
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\vert\boldsymbol r\vert^n=n\vert\boldsymbol r\vert^{n-2}\boldsymbol r\tag{2}\end{align*}
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\vert\boldsymbol r\vert^n&=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)\vert\boldsymbol r\vert^n\\&=\frac{\partial \vert\boldsymbol r\vert^n}{\partial \vert\boldsymbol r\vert}\left(\frac{\partial \vert\boldsymbol r\vert}{\partial x},\frac{\partial \vert\boldsymbol r\vert}{\partial y},\frac{\partial \vert\boldsymbol r\vert}{\partial z}\right)\\&=n\vert\boldsymbol r\vert^{n-1}\left(\frac{x}{\vert\boldsymbol r\vert},\frac{y}{\vert\boldsymbol r\vert},\frac{z}{\vert\boldsymbol r\vert}\right)\\&=n\vert\boldsymbol r\vert^{n-2}\boldsymbol r\end{align*}
3行目への変形では
\begin{align*}\frac{\partial \vert\boldsymbol r\vert}{\partial x}&=\frac{\partial }{\partial x}(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}}\\&=\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{1}{2}}2x\\&=\frac{x}{\vert\boldsymbol r\vert}\\\frac{\partial \vert\boldsymbol r\vert}{\partial y}&=\frac{\partial }{\partial y}(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}}\\&=\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{1}{2}}2y\\&=\frac{y}{\vert\boldsymbol r\vert}\\\frac{\partial \vert\boldsymbol r\vert}{\partial z}&=\frac{\partial }{\partial z}(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}}\\&=\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{1}{2}}2z\\&=\frac{z}{\vert\boldsymbol r\vert}\end{align*}
を用い、4行目への変形では
\begin{align*}\boldsymbol r=(x,y,z)\end{align*}
を用いた。
位置ベクトルの内積の勾配
原点からある点\((x,y,z)\)までの位置ベクトルを
\begin{align*}\boldsymbol r=(x,y,z)\tag{3}\end{align*}
としたとき、スカラー場\(f(x,y,z)\)が位置ベクトル\(\boldsymbol r\)と定数ベクトル\(\boldsymbol a=(a_x,a_y,a_z)\)との内積\((\boldsymbol r\cdot\boldsymbol a)\)で表されるならば、勾配\(\boldsymbol \nabla\)を作用させた勾配ベクトル\(\boldsymbol\nabla f\)は次のようになる。
\begin{align*}\boldsymbol\nabla(\boldsymbol r\cdot\boldsymbol a)=\boldsymbol a\tag{4}\end{align*}
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