HOME ＞ 物理数学 ＞ ベクトル解析 ＞ヘルムホルツの定理
【前ページ】 【次ページ】
本ページでは…
本ページでは、無限遠でゼロベクトルとなる任意のベクトル場\(\boldsymbol F\)が｢回転なしの場\(\boldsymbol F_\parallel\)｣と｢発散なしの場\(\boldsymbol F_\perp\)｣に分解できることを示すヘルムホルツの定理
\begin{align*}\boldsymbol F=\boldsymbol F_\parallel+\boldsymbol F_\perp\end{align*}
を導出する。
前ページまで…
前ページでは、回転の面積分をベクトル場の線積分に結び付けるストークスの定理
\begin{align*}\int_S (\boldsymbol \nabla×\boldsymbol f)\cdot d\boldsymbol S=\int_C \boldsymbol f\cdot d\boldsymbol l\end{align*}
を導出した。
内容
ヘルムホルツの定理
無限遠でゼロベクトルとなる任意のベクトル場\(\boldsymbol F\)は｢回転なしの場\(\boldsymbol F_\parallel\)｣と｢発散なしの場\(\boldsymbol F_\perp\)｣に分解
\begin{align*}\boldsymbol F=\boldsymbol F_\parallel+\boldsymbol F_\perp\tag{1}\end{align*}
することができ、これをヘルムホルツの定理という。
回転なしの場\(\boldsymbol F_\parallel\)は文字通り、回転\(\boldsymbol\nabla×\)を作用させるとゼロベクトルとなる場のため、勾配ベクトル場\(\boldsymbol \nabla \phi\)の回転\(\boldsymbol \nabla×\)がゼロベクトルになる公式(以前のページを参照)
\begin{align*}\boldsymbol \nabla×(\boldsymbol \nabla\phi )=\boldsymbol 0\tag{2}\end{align*}
を用いると、回転なしの場\(\boldsymbol F_\parallel\)は
\begin{align*}\boldsymbol F_\parallel=-\boldsymbol\nabla \phi\tag{3}\end{align*}
と表すことができる(数学的には負号を付ける必然性はないが、スカラーポテンシャルの物理的意味づけに合わせるため、慣習的に負号を付けている)。また、発散なしの場\(\boldsymbol F_\perp\)は文字通り、発散\(\boldsymbol\nabla\cdot\)を作用させるとゼロベクトルとなる場のため、回転ベクトル場\(\boldsymbol \nabla ×\boldsymbol A\)の発散\(\boldsymbol \nabla\cdot\)がゼロベクトルになる公式(以前のページを参照)
\begin{align*}\boldsymbol \nabla\cdot(\boldsymbol \nabla ×\boldsymbol A)=\boldsymbol 0\tag{4}\end{align*}
を用いると、発散なしの場\(\boldsymbol F_\perp\)は
\begin{align*}\boldsymbol F_\perp=\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A\tag{5}\end{align*}
と表すことができる。よって、以上より、スカラー場\(\phi\)とベクトル場\(\boldsymbol A\)を用いてヘルムホルツの定理は
\begin{align*}\boldsymbol F=-\boldsymbol\nabla \phi+\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A\tag{6}\end{align*}
と表すことができる。
ベクトル場を流れとして捉えると、一般には流れには｢発散(湧き出し・吸い込み)｣と｢回転(渦)｣と｢一様な流れ｣の三つが存在しうる。しかし、無限遠でゼロベクトルとなるベクトル場のみを考えると、｢一様な流れ｣は許されず，流れには｢発散｣と｢回転｣しか存在しない。したがって、ヘルムホルツの定理は、無限遠で消える任意のベクトル場\(\boldsymbol F\)を｢発散のみを担う場｣と｢回転のみを担う場｣とに分解できることを主張している。すなわち、｢回転なしの場\(\boldsymbol F_\parallel\)｣は発散(湧き出し・吸い込み)を担う勾配ベクトル場\(-\boldsymbol\nabla\phi\)に対応し、｢発散なしの場\(\boldsymbol F_\perp\)｣は回転(渦)を担う回転ベクトル場\(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A\)に対応する。
スカラー場とベクトル場の任意性
スカラー場\(\phi\)とベクトル場\(\boldsymbol A\)の取り方は一意的ではなく、\(\phi\)に定数\(c\)を加えた新たなスカラー場\(\phi’\)
\begin{align*}\phi’=\phi+c\tag{7}\end{align*}
や、\(\boldsymbol A\)に任意のスカラー場\(\varphi\)の勾配\(\boldsymbol \nabla\varphi\)を加えた新たなベクトル場\(\boldsymbol A’\)
\begin{align*}\boldsymbol A’=\boldsymbol A+\boldsymbol\nabla\varphi\tag{8}\end{align*}
もヘルムホルツの定理
\begin{align*}\boldsymbol F=-\boldsymbol\nabla \phi’+\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A’\tag{9}\end{align*}
を満たす。これは、次の公式(以前のページを参照)
\begin{align*}\boldsymbol\nabla c&=\boldsymbol0\tag{10}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol \nabla\varphi&=\boldsymbol0\tag{11}\end{align*}
が成り立つことから分かる。
また、次の関係
\begin{align*}\boldsymbol\nabla f=\boldsymbol\nabla×\boldsymbol f\tag{12}\end{align*}
を満たすスカラー場\(f\)とベクトル場\(\boldsymbol f\)を加えた新たなスカラー場\(\phi’\)とベクトル場\(\boldsymbol A’\)
\begin{align*}\phi’&=\phi+f\tag{13}\\\boldsymbol A’&=\boldsymbol A+\boldsymbol f\tag{14}\end{align*}
もヘルムホルツの定理
\begin{align*}\boldsymbol F=-\boldsymbol\nabla \phi’+\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A’\tag{9}\end{align*}
を満たす。
ヘルムホルツの定理の証明
ヘルムホルツの定理を証明する。ヘルムホルツの定理
\begin{align*}\boldsymbol F=-\boldsymbol\nabla \phi+\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A\tag{6}\end{align*}
に発散\(\boldsymbol\nabla\cdot\)と回転\(\boldsymbol \nabla×\)と作用させると
\begin{align*}\boldsymbol \nabla\cdot\boldsymbol F&=-\boldsymbol \nabla\cdot(\boldsymbol \nabla \phi)\\&=-\boldsymbol\nabla^2\phi\tag{15}\\\boldsymbol \nabla×\boldsymbol F&=\boldsymbol \nabla×(\boldsymbol \nabla ×\boldsymbol A)\\&=\boldsymbol \nabla(\boldsymbol\nabla\cdot \boldsymbol A)-\boldsymbol\nabla^2 \boldsymbol A\tag{16}\end{align*}
式(16)の2行目への変形では、以前のページで求めた｢回転ベクトル場の回転｣の公式
\begin{align*}\boldsymbol \nabla×(\boldsymbol \nabla ×\boldsymbol A)&=\boldsymbol \nabla(\boldsymbol\nabla\cdot \boldsymbol A)-(\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol\nabla) \boldsymbol A\end{align*}
を用いた。
となるため、どのようなベクトル場\(\boldsymbol F\)でも上式を満たすスカラー場\(\phi\)とベクトル場\(\boldsymbol A\)が一意的に決まることを調べれば良い。
初めに、ベクトル場\(\boldsymbol F\)の任意性より、\(\boldsymbol A\)に任意のスカラー場\(\varphi\)の勾配\(\boldsymbol \nabla\varphi\)を加えた新たなベクトル場\(\boldsymbol A’\)
\begin{align*}\boldsymbol A’=\boldsymbol A+\boldsymbol\nabla\varphi\tag{8}\end{align*}
もヘルムホルツの定理を満たしていたため、式(16)のベクトル場\(\boldsymbol A\)を\(\boldsymbol A’\)に置き換えると
\begin{align*}\boldsymbol \nabla×\boldsymbol F&=\boldsymbol \nabla(\boldsymbol\nabla\cdot \boldsymbol A’)-\boldsymbol\nabla^2 \boldsymbol A’\tag{17}\end{align*}
と書くことができる。ここで、任意のスカラー場\(\varphi\)を次の関係
\begin{align*}\boldsymbol \nabla\cdot(\boldsymbol A +\boldsymbol\nabla\varphi)=0\tag{18}\end{align*}
を満たすように選ぶと、式(8)より
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\cdot \boldsymbol A’=0\tag{19}\end{align*}
が成り立つため、式(17)は
\begin{align*}\boldsymbol \nabla×\boldsymbol F&=-\boldsymbol\nabla^2 \boldsymbol A’\tag{20}\end{align*}
となる。
これまでをまとめると、次の式
\begin{align*}\boldsymbol \nabla\cdot\boldsymbol F&=-\boldsymbol\nabla^2\phi\tag{15}\\\boldsymbol \nabla×\boldsymbol F&=-\boldsymbol\nabla^2 \boldsymbol A’\tag{20}\end{align*}
を満たすスカラー場\(\phi\)とベクトル場\(\boldsymbol A’\)が一意的に決まることを確認すればよく、これらの式はポアソン方程式のため、次のように一意的にスカラー場\(\phi\)とベクトル場\(\boldsymbol A’\)
\begin{align*}\phi&=\frac{1}{4\pi}\int_V\frac{\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol F}{r}dV\tag{21}\\\boldsymbol A’&=\frac{1}{4\pi}\int_V\frac{\boldsymbol\nabla×\boldsymbol F}{r}dV\tag{22}\end{align*}
を決めることができる(厳密には、ベクトル場\(\boldsymbol F\)は無限遠で十分早くゼロに収束する必要がある)。よって、ヘルムホルツの定理が成り立つ。
縦波成分と横波成分
ヘルムホルツの定理において、回転なしの場\(\boldsymbol F_\parallel\)と発散なしの場\(\boldsymbol F_\perp\)は次式
\begin{align*}\boldsymbol \nabla×\boldsymbol F_\parallel=\boldsymbol 0\tag{23}\\\boldsymbol \nabla\cdot\boldsymbol F_\perp=0\tag{24}\end{align*}
を満たす。そのため、フーリエ変換
\begin{align*}\boldsymbol \nabla\rightarrow i\boldsymbol k\end{align*}
を行なうと
\begin{align*}\boldsymbol k×\tilde{\boldsymbol F}_\parallel=\boldsymbol 0\tag{25}\\\boldsymbol k\cdot\tilde{\boldsymbol F}_\perp=0\tag{26}\end{align*}
となって、回転なしの場\(\tilde{\boldsymbol F}_\parallel\)は運動量\(\boldsymbol k\)方向に平行で、発散なしの場\(\tilde{\boldsymbol F}_\perp\)は運動量\(\boldsymbol k\)方向に垂直であることが分かる。よって、運動量\(\boldsymbol k\)方向を基準に考えて、回転なしの場\(\tilde{\boldsymbol F}_\parallel\)を縦波成分、発散なしの場\(\tilde{\boldsymbol F}_\perp\)を横波成分と呼ぶ。
次ページから…
【前ページ】 【次ページ】
HOME ＞ 物理数学 ＞ ベクトル解析 ＞ヘルムホルツの定理
