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本ページでは、ラグランジュの運動方程式から、グラスマン数を含む運動方程式を導く。また、次の無限小変換
\begin{align*}q\rightarrow&q+\delta q\\\eta\rightarrow&\eta+\delta\eta\\\eta^\dagger\rightarrow&\eta^\dagger+\delta\eta^\dagger\end{align*}
で運動方程式が変わらないとき、無限小量は次の形に制限され、無限小超対称性変換と呼ばれることを見る。
\begin{align*}\delta q&=\epsilon\eta^\dagger-\epsilon^\dagger\eta\\\delta\eta&=\epsilon(im\dot q-W'(q))\\\delta\eta^\dagger&=\epsilon(-im\dot q-W'(q))\end{align*}
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前ページでは、\(\{q,p,\eta,\pi_{\eta}=i\eta^\dagger\}\)が変数である超ハミルトニアン\(H\)
\begin{align*}H&=\frac{1}{2m}p^2+\frac{1}{2m}(W'(q))^2+\frac{1}{2m}W^{”}(q)(\eta\eta^\dagger-\eta^\dagger\eta)\tag{1}\end{align*}
をルジャンドル変換
\begin{align*}L&=\dot qp+\dot\eta\pi_{\scriptsize \eta}-H\tag{2}\end{align*}
で\(\{q,\dot q,\eta,\dot\eta\}\)が変数である超ラグランジアン\(L\)に変換すると
\begin{align*}L=\frac{1}{2}m\dot q^2-\frac{1}{2m}(W'(q))^2+i\dot\eta\eta^\dagger+\frac{1}{m}W^{”}(q)\eta^\dagger\eta\tag{3}\end{align*}
となることを見た。
内容
ラグランジュの運動方程式
\begin{align*}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}&=0\tag{4}\\\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot \eta}\right)-\frac{\partial L}{\partial \eta}&=0\tag{5}\\\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot \eta^\dagger}\right)-\frac{\partial L}{\partial \eta^\dagger}&=0\tag{6}\end{align*}
に超ラグランジアン\(L\)の式(3)を代入することによってグラスマン数を含む運動方程式が得られる。
\begin{align*}m\ddot q+\frac{1}{m}W'(q)W^{”}(q)-\frac{1}{m}W^{”}{}'(q)\eta^\dagger\eta&=0\tag{7}\\i\dot\eta^\dagger-\frac{1}{m}W^{”}(q)\eta^\dagger=0\tag{8}\\-i\dot\eta-\frac{1}{m}W^{”}(q)\eta=0\tag{9}\end{align*}
次に、座標\(q\)やグラスマン数\(\eta\),\(\eta^\dagger\)が次のように無限小変化
\begin{align*}q\rightarrow&q+\delta q\\\eta\rightarrow&\eta+\delta\eta\\\eta^\dagger\rightarrow&\eta^\dagger+\delta\eta^\dagger\end{align*}
した時も運動方程式(7),(8),(9)を満たすとき、無限小量\(\delta q\),\(\delta\eta\),\(\delta\eta^\dagger\)が満たさなければならない条件を調べてみる。
無限小変化後の座標\(q+\delta q\)とグラスマン数\(\eta+\delta\eta\),\(\eta^\dagger+\delta\eta^\dagger\)が運動方程式(7),(8),(9)を満たすとすると
\begin{align*}&m(\ddot q+\delta\ddot q)+\frac{1}{m}W'(q+\delta q)W^{”}(q+\delta q)-\frac{1}{m}W^{”}{}'(q+\delta q)(\eta^\dagger+\delta\eta^\dagger)(\eta+\delta\eta)=0\\&\rightarrow m(\ddot q+\delta\ddot q)+\frac{1}{m}(W'(q)+W^{”}(q)\delta q)(W^{”}(q)+W^{”}{}'(q)\delta q)-\frac{1}{m}(W^{”}{}'(q)+W^{”}{}^{”}(q)\delta q)(\eta^\dagger+\delta\eta^\dagger)(\eta+\delta\eta)=0\\&\rightarrow m \delta\ddot q+\frac{1}{m}((W^{”}(q))^2+W'(q)W^{”}{}'(q))\delta q-\frac{1}{m}(W^{”}{}^{”}(q)\delta q\eta^\dagger\eta+W^{”}{}'(q)\delta\eta^\dagger\eta+W^{”}{}'(q)\eta^\dagger\delta\eta)=0\tag{10}\end{align*}
\begin{align*}&i(\dot\eta^\dagger+\delta\dot\eta^\dagger)-\frac{1}{m}W^{”}(q+\delta q)(\eta^\dagger+\delta\eta^\dagger)=0\\&\rightarrow i(\dot\eta^\dagger+\delta\dot\eta^\dagger)-\frac{1}{m}(W^{”}(q)+W^{”}{}'(q)\delta q)(\eta^\dagger+\delta\eta^\dagger)=0\\&\rightarrow i\delta\dot\eta^\dagger-\frac{1}{m}(W^{”}{}'(q)\delta q\eta^\dagger+W^{”}(q)\delta\eta^\dagger)=0\tag{11}\end{align*}
\begin{align*} &-i(\dot\eta+\delta\dot\eta)-\frac{1}{m}W^{”}(q+\delta q)(\eta+\delta\eta)=0\\&\rightarrow -i(\dot\eta+\delta\dot\eta)-\frac{1}{m}(W^{”}(q)+W^{”}{}'(q)\delta q)(\eta+\delta\eta)=0\\&-i\delta\dot\eta-\frac{1}{m}(W^{”}{}'(q)\delta q\eta+W^{”}(q)\delta\eta)=0\tag{12}\end{align*}
の関係式が得られる。
※※※それぞれ、2行目への変換では
\begin{align*}W(q+\delta q)\simeq W(q)+\delta W(q)\simeq W(q)+\frac{\delta W(q)}{\delta q}\delta q=W(q)+W'(q)\delta q\tag{13}\end{align*}
の関係を用い、3行目への変換では無限小同士の積は無視して、運動方程式(7),(8),(9)を用いた。※※※
式(12)の右からグラスマン数\(\eta\)を掛けると、座標の無限小量\(\delta q\)を含まない式
\begin{align*}-i\delta\dot\eta\eta-\frac{1}{m}W^{”}(q)\delta\eta\eta=0\tag{14}\end{align*}
が得られるため、この式(14)からグラスマン数の無限小量\(\delta\eta\)が満たす条件を導く。
ここで、式(14)の左辺がゼロになることが自明でなくても、運動方程式(7),(8),(9)の右からグラスマン数\(\eta\)を掛けた次式
\begin{align*}m\ddot q\eta+\frac{1}{m}W'(q)W^{”}(q)\eta&=0\tag{15}\\i\dot\eta^\dagger\eta-\frac{1}{m}W^{”}(q)\eta^\dagger\eta=0\tag{16}\\-i\dot\eta\eta=0\tag{17}\end{align*}
が式(14)から導かれれば、式(14)は成り立つことになる(運動方程式にグラスマン数を掛けたのは、式(14)全体にグラスマン数が掛かっているからである)。残念ながら、式(14)からは式(16)は導かれず、グラスマン数の無限小量の形が
\begin{align*}\delta\eta=\epsilon\eta^\dagger\end{align*}
だとすると(\(\epsilon\)は無限小定数)、式(16)の1項目の符号が逆の式
\begin{align*}-i\dot\eta^\dagger\eta-\frac{1}{m}W^{”}(q)\eta^\dagger\eta=0\tag{18}\end{align*}
しか得られない。また、グラスマン数の無限小量の形が
\begin{align*}\delta\eta=\epsilon\eta\end{align*}
という、無限小量\(\delta\eta\)がその変数\(\eta\)という有り得ない形でなければ式(17)は導かれない。よって、式(14)から導かれる唯一の運動方程式は式(15)であり、その時の無限小量は
\begin{align*}\delta\eta=\epsilon(im\dot q-W'(q))\tag{19}\end{align*}
となる。左辺の\(\delta\eta\)はグラスマン数であり、\(\dot q\)と\(W'(q)\)はグラスマン数ではないから、無限小定数\(\epsilon\)はグラスマン数でなければならない。
次に式(12)に式(19)を代入すると、
\begin{align*} -i\epsilon(im\ddot q-W^{”}(q)\dot q)\eta-\frac{1}{m}(W^{”}{}'(q)\delta q\eta+W^{”}(q)\epsilon(im\dot q-W'(q)))&=0\\\rightarrow\epsilon m\ddot q+\frac{\epsilon}{m}W'(q)W^{”}(q)-\frac{1}{m}W^{”}{}'(q)\delta q\eta&=0\\\rightarrow\frac{\epsilon}{m}W^{”}{}'(q)\eta^\dagger\eta-\frac{1}{m}W^{”}{}'(q)\delta q\eta&=0\\\rightarrow\delta q=\epsilon\eta^\dagger-\epsilon^\dagger\eta&\tag{20}\end{align*}
となり、座標の無限小量\(\delta q\)が求まる。
※※※3行目への変換では、運動方程式(7)を用いた。また、4行目の右辺第2項の符号と無限小量の\({}^\dagger\)は、左辺がエルミートのため記した形でなければ右辺もエルミートにならない。※※※
以上より、求めた無限小量をまとめると
\begin{align*}\delta q&=\epsilon\eta^\dagger-\epsilon^\dagger\eta\tag{20}\\\delta\eta&=\epsilon(im\dot q-W'(q))\tag{19}\\\delta\eta^\dagger&=\epsilon(-im\dot q-W'(q))\tag{21}\end{align*}
となり、これらの無限小を用いた変換を無限小超対称性変換と呼ぶ。無限小超対称性変換はボース的変数\(q\),\(W(q)\)とフェルミ的変数\(\eta\),\(\eta^\dagger\)から成り立っていることから、他の対称性と異なり、超対称性はボース的変数とフェルミ的変数の入れ替えにおける対称性であることが分かる。
無限小超対称性変換では運動方程式は変化しないため、作用積分も変化せず、ラグランジアンは等価ラグランジアンになっている。このことは次ページで確認する。
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