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本ページでは、逆二乗場
\begin{align*}\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r-\boldsymbol d\vert^3}\end{align*}
の多重極展開が\(\boldsymbol d\)が充分小さいときに
\begin{align*}\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r-\boldsymbol d\vert^3}\simeq\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r\vert^3}+\frac{3(\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d)\boldsymbol r}{\vert\boldsymbol r\vert^5}\end{align*}
と表されることをみる。
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前ページでは、ニュートンポテンシャル
\begin{align*}\frac{1}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol d\vert}\end{align*}
の多重極展開が
\begin{align*}\frac{1}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol d\vert}=\frac{1}{\vert\boldsymbol r\vert}+\frac{\vert\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d\vert}{\vert\boldsymbol r\vert^3}+\frac{3\vert\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d\vert^2-\vert\boldsymbol r\vert^2\vert\boldsymbol d\vert^2}{2\vert \boldsymbol r\vert^5}+\cdots\end{align*}
と表され、ルジャンドル多項式\(P_l(\cos\theta)\)を用いて
\begin{align*}\frac{1}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol d\vert}&=\sum_{l=0}^\infty\frac{\vert\boldsymbol d\vert^{l}}{\vert\boldsymbol r\vert^{l+1}}P_l(\cos\gamma)\tag{6}\end{align*}
となることを見た。
内容
逆二乗場
重力場や電磁場のように大きさが距離の2乗に逆比例する場を逆二乗場という。
粒子が点\(\boldsymbol d\)に存在しているとき、点\(\boldsymbol r\)における逆二乗場は係数を除けば次のような関数で表すことができる。
\begin{align*}\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r-\boldsymbol d\vert^3}\tag{1}\end{align*}
例えば、質量が\(m\),電荷が\(q\),磁荷が\(q_m\)の粒子が点\(\boldsymbol d\)に存在しているとき、点\(\boldsymbol r\)における重力場、電磁場は次のようになっている。
\begin{align*}-Gm\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r-\boldsymbol d\vert^3}\\kq\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r-\boldsymbol d\vert^3}\\k’q_m\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r-\boldsymbol d\vert^3}\end{align*}
逆二乗場の多重極展開
逆二乗場
\begin{align*}\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r-\boldsymbol d\vert^3}\tag{1}\end{align*}
は角度に依存する関数であるため、テイラー展開は前々ページでみた多重極展開となる。
逆二乗場において、ベクトル\(\boldsymbol d\)について多重極展開を行なってみる。ニュートンポテンシャルの多重極展開は
\begin{align*}\frac{1}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol d\vert}=\frac{1}{\vert\boldsymbol r\vert}+\frac{\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r\vert^3}+\frac{3\vert\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d\vert^2-\vert\boldsymbol r\vert^2\vert\boldsymbol d\vert^2}{2\vert \boldsymbol r\vert^5}+\cdots\tag{2}\end{align*}
であったが、左辺の勾配\(\boldsymbol\nabla\)をとると
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\left(\frac{1}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol d\vert}\right)=-\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r-\boldsymbol d\vert^3}\tag{3}\end{align*}
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\left(\frac{1}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol d\vert}\right)&=\boldsymbol\nabla\vert \boldsymbol r-\boldsymbol d\vert^{-1}\\&=-\vert \boldsymbol r-\boldsymbol d\vert^{-3}(\boldsymbol r-\boldsymbol d)\\&=-\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r-\boldsymbol d\vert^3}\end{align*}
2行目への変形では、勾配を用いた次の関係を用いた(以前のページを参照)。
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\vert\boldsymbol r\vert^n=n\vert\boldsymbol r\vert^{n-2}\boldsymbol r\end{align*}
となって逆二乗場の符号違いになるため、式(2)の両辺の勾配\(\boldsymbol \nabla\)をとってマイナスを掛ければ逆二乗場の多重極展開となる。ただし、式(2)の右辺の勾配\(\boldsymbol\nabla\)をとると計算が煩雑になるため、簡便にするために式(2)において\(\boldsymbol d\)が十分小さい、すなわち式(2)において\(\boldsymbol d\)の2乗以降を無視した式
\begin{align*}\frac{1}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol d\vert}\simeq\frac{1}{\vert\boldsymbol r\vert}+\frac{\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r\vert^3}\tag{4}\end{align*}
において勾配をとる。すると、
\begin{align*}-\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r-\boldsymbol d\vert^3}\simeq-\frac{\boldsymbol r}{\vert\boldsymbol r\vert^3}+\frac{\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r\vert^3}-\frac{3(\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d)\boldsymbol r}{\vert\boldsymbol r\vert^5}\tag{5}\end{align*}
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\left(\frac{1}{\vert\boldsymbol r\vert}+\frac{\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r\vert^3}\right)&=\boldsymbol \nabla\left(\frac{1}{\vert\boldsymbol r\vert}\right)+\boldsymbol\nabla\left(\frac{\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r\vert^3}\right)\\&=\boldsymbol \nabla\vert\boldsymbol r\vert^{-1}+\vert\boldsymbol r\vert^{-3}\boldsymbol\nabla\left(\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d\right)+\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d\boldsymbol\nabla\vert\boldsymbol r\vert^{-3}\\&=-\vert\boldsymbol r\vert^{-3}\boldsymbol r+\vert\boldsymbol r\vert^{-3}\boldsymbol d-3\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d\vert\boldsymbol r\vert^{-5}\\&=-\frac{\boldsymbol r}{\vert\boldsymbol r\vert^3}+\frac{\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r\vert^3}-\frac{3(\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d)\boldsymbol r}{\vert\boldsymbol r\vert^5}\end{align*}
3行目への変形では、勾配を用いた次の関係を用いた(以前のページを参照)。
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\vert\boldsymbol r\vert^n=n\vert\boldsymbol r\vert^{n-2}\boldsymbol r\end{align*}
\begin{align*}\boldsymbol\nabla(\boldsymbol r\cdot\boldsymbol a)=\boldsymbol a\end{align*}
となり、逆二乗場の多重極展開は
\begin{align*}\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r-\boldsymbol d\vert^3}\simeq\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r\vert^3}+\frac{3(\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d)\boldsymbol r}{\vert\boldsymbol r\vert^5}\tag{6}\end{align*}
と求まる。
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