磁束保存の式

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 本ページでは、マクスウェル方程式を構成する磁束保存の式

\begin{align*}\boldsymbol \nabla \cdot\boldsymbol B&=0\ \ \ \ (\text{div}\boldsymbol B=0)\end{align*}

または

\begin{align*}\int_S\boldsymbol B\cdot d\boldsymbol S&=0\end{align*}

を導く。また、磁束保存の式から磁場\(\boldsymbol H\)の定義や磁気分極\(\boldsymbol P_\text m\)・磁化\(\boldsymbol M\)の定義、そして、クーロンの法則(静磁場)が導かれることを確認する。

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内容

磁束保存の式とは

\begin{align*}\boldsymbol \nabla \cdot\boldsymbol B&=0\ \ \ \ (\text{div}\boldsymbol B=0)\tag{1}\end{align*}

または

\begin{align*}\int_S\boldsymbol B\cdot d\boldsymbol S&=0\tag{2}\end{align*}

を磁束保存の式という。この式は、磁束には起点や終点がないループ線であること、言い換えると、あらゆる閉曲面において磁束の流入量と流出量は等しいことを示している。これは、磁気単極子(モノポール)が存在しないことを表し、代わりに磁束の発生源は磁気双極子(ダイポール)であることを表す。

磁束保存の式の導出

 磁束保存の式を導出する。

 E-H対応において、正の真磁荷(またはN極)から磁束が出て、負の真磁荷(またはS極)へ磁束が入り、磁束は磁荷のない所で途切れたり、別の磁束と交わったりしないものと定義した(以前のページを参照)。ここで、単一の磁荷であるモノポール(磁気単極子)は存在せず、正負の磁荷がペアとなったダイポール(磁気双極子)として常に存在するため、磁束はループしている。

 一方、E-B対応において、磁束には湧き出し源は無く、磁束は途切れたり、別の磁束と交わったりしないものと定義した(以前のページを参照)。ここで、電流(自由電流と磁化電流)の向きを右ねじが進む向きとしたとき、電流から生じる磁束の向きは右ねじが進むときに回る向きとなるため、磁束はループしている。

 以上より、どちらの対応でも磁束はループしている。そのため、向きが磁束の向きであり、大きさが単位面積当たりの磁束である｢磁束密度\(\boldsymbol B\)｣と、 向きが微小面積\(dS\)の法線の向きであり、大きさが微小面積(dS)の値である｢面積素\(d\boldsymbol S\)｣を定義すると、磁束密度\(\boldsymbol B\)と面積素\(d\boldsymbol S\)との内積を閉曲面\(S\)上で足し合わせたものは、ゼロとなる。

\begin{align*}\int_S\boldsymbol B\cdot d\boldsymbol S=0\tag{2}\end{align*}

ここで、磁束密度\(\boldsymbol B\)と面積素\(d\boldsymbol S\)の内積をとる理由は、面積素\(d\boldsymbol S\)の向きが磁束密度\(\boldsymbol B\)の向きから傾けば傾くほど微小面積\(dS\)を貫く磁束の量が減るからである。また、その内積の面積分がゼロになるということは、閉曲面\(S\)の中から湧き出す磁束はゼロということであり、これが磁束保存の式の積分形である。

 微分形で表した磁束保存の式は次のように求めることができる。閉曲面\(S\)で囲われた体積を\(V\)としたとき、発散定理は

\begin{align*}\int_V \nabla\cdot \boldsymbol f\ dxdydz=\int_S \boldsymbol f\cdot d\boldsymbol S\tag{3}\end{align*}

となる(以前のページを参照)ため、積分形で表した磁束保存の式(1)を代入すると

\begin{align*}\int_V \nabla\cdot \boldsymbol B\ dxdydz=0\tag{4}\end{align*}

となる。ここで、磁束保存の式(2)はあらゆる閉曲面\(S\)で成り立つため、式(4)の体積積分はあらゆる体積\(V\)で成り立たなければならず、次式が成り立つ。

\begin{align*}\boldsymbol\nabla \cdot\boldsymbol B&=0\ \ \ \ (\text{div}\boldsymbol B=0)\tag{1}\end{align*}

これが、微分形で表した磁束保存の式である。

磁束保存の式から導かれる式

磁場と磁気分極の定義(E-H対応)

 E-H対応において、構成方程式

\begin{align*}\boldsymbol H&=\frac{1}{\mu_0}(\boldsymbol B-\boldsymbol P_{\text m})\tag{5}\end{align*}

と積分形の磁束保存の式(2)から次の式

\begin{align*}\int_S\boldsymbol H\cdot d\boldsymbol S=-\frac{1}{\mu_0}\int_S\boldsymbol P_{\text m}\cdot d\boldsymbol S\tag{6}\end{align*}

が導かれる。E-H対応において、閉曲面\(S\)内に存在する全磁荷を\(Q_\text m\)としたとき、磁気力線が\(Q_{\text m}/\mu_0\)だけ湧き出るため、式(6)の左辺の値は\(Q_{\text m}/\mu_0\)になり、右辺の値も\(Q_{\text m}/\mu_0\)になって、次の2式が成り立つ。

\begin{align*}\int_S\boldsymbol H\cdot d\boldsymbol S&=\frac{Q_{\text m}}{\mu_0}\tag{7}\\-\int_S\boldsymbol P_{\text m}\cdot d\boldsymbol S&=Q_{\text{mb}}\tag{8}\end{align*}

これがE-H対応における磁場\(\boldsymbol H\)と磁気分極\(\boldsymbol P_{\text m}\)の定義であった(以前のページまたは以前のページを参照)。ここで、磁気分極\(\boldsymbol P_\text m\)の定義では全磁荷\(Q_\text{m}\)ではなく分極磁荷\(Q_\text{mb}\)を用いているが、これは磁気双極子である真磁荷の全磁荷はゼロとカウントされるからである。

 磁場\(\boldsymbol B\)と磁気分極\(\boldsymbol P_{\text m}\)の定義を微分形で表すと

\begin{align*}\nabla \cdot\boldsymbol H&=\frac{Q_{\text {m}}}{\mu_0}\ \ \ \ \left(\text{div}\boldsymbol H=\frac{Q_{\text {m}}}{\mu_0}\right)\tag{9}\\\nabla \cdot\boldsymbol P_{\text m}&=-Q_{\text {mb}}\ \ \ \ \left(\text{div}\boldsymbol P_{\text m}=-Q_{\text {mb}}\right)\tag{10}\end{align*}

となる。もちろん積分形と等価ではあるが、微分形では、磁場\(\boldsymbol H\)や磁気分極\(\boldsymbol P_{\text m}\)の発散\(\boldsymbol \nabla \cdot\)(または\(\text{div}\))はゼロにならず、湧き出しが存在することがシンプルにわかりやすい。

磁場と磁化の定義(E-B対応)

 E-B対応において、構成方程式

\begin{align*}\boldsymbol B&=\mu_0(\boldsymbol H+\boldsymbol M)\tag{11}\end{align*}

と積分形の磁束保存の式(2)から次の式

\begin{align*}\mu_0\int_S\boldsymbol H\cdot d\boldsymbol S=-\mu_0\int_S\boldsymbol M\cdot d\boldsymbol S\tag{12}\end{align*}

が導かれる。E-B対応において、磁気力線は電流(自由電流と磁化電流)の周りにループして生じ、湧き出ることはないなめ、式(12)の左辺はゼロになり、右辺もゼロとなる。

\begin{align*}\int_S\boldsymbol H\cdot d\boldsymbol S&=0\tag{13}\\\int_S\boldsymbol M\cdot d\boldsymbol S&=0\tag{14}\end{align*}

これがE-B対応における磁場\(\boldsymbol H\)と磁気分極\(\boldsymbol P_{\text m}\)の定義であった(以前のページまたは以前のページを参照)。

 磁場\(\boldsymbol B\)と磁化\(\boldsymbol M\)の定義を微分形で表すと

\begin{align*}\boldsymbol\nabla \cdot\boldsymbol H&=0\ \ \ \ \left(\text{div}\boldsymbol H=0\right)\tag{15}\\\boldsymbol\nabla \cdot\boldsymbol M&=0\ \ \ \ \left(\text{div}\boldsymbol M=0\right)\tag{16}\end{align*}

となる。もちろん積分形と等価ではあるが、微分形では、磁場\(\boldsymbol H\)や磁化\(\boldsymbol M\)の発散\(\boldsymbol \nabla \cdot\)(または\(\text{div}\))はゼロになり、湧き出しが存在しないことがシンプルにわかりやすい。

 以上より、E-B対応だけを考えるのならマクスウェル方程式を構成する式として

\begin{align*}\int_S\boldsymbol B\cdot d\boldsymbol S&=0\tag{2}\end{align*}

ではなく、次のような磁場\(\boldsymbol H\)を用いた式

\begin{align*}\int_S\boldsymbol H\cdot d\boldsymbol S&=0\tag{13}\end{align*}

でも良い。一方、E-H対応も考えるのなら式(13)は成り立たず、式(2)を用いなければならない。

クーロンの法則(静磁場)

 以前のページで求めたが、磁束保存の式とローレンツ力の式から求めることができる。

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