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本ページでは…
本ページでは、ニュートンポテンシャル
\begin{align*}\frac{1}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol d\vert}\end{align*}
の多重極展開が
\begin{align*}\frac{1}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol d\vert}=\frac{1}{\vert\boldsymbol r\vert}+\frac{\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r\vert^3}+\frac{3\vert\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d\vert^2-\vert\boldsymbol r\vert^2\vert\boldsymbol d\vert^2}{2\vert \boldsymbol r\vert^5}+\cdots\end{align*}
と表され、ルジャンドル多項式\(P_l(\cos\theta)\)を用いて
\begin{align*}\frac{1}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol d\vert}&=\sum_{l=0}^\infty\frac{\vert\boldsymbol d\vert^{l}}{\vert\boldsymbol r\vert^{l+1}}P_l(\cos\gamma)\tag{6}\end{align*}
となることを見る。
前ページまで…
前ページでは、角度に依存する関数\(f(r,\theta,\varphi)\)の点\(x’,y’z’\)におけるテイラー展開である多重極展開が
\begin{align*}f(r,\theta,\varphi)&=f(x,y,z)\\&=\sum_{n_1=0}^\infty\sum_{n_2=0}^\infty\sum_{n_3=0}^\infty\frac{(x-x’)^{n_1}(y-y’)^{n_2}(z-z’)^{n_3}}{n_1!n_2!n_3!}\frac{\partial^{n_1+n_2+n_3}}{\partial x^{n_1}\partial y^{n_2}\partial z^{n_3}}f(x’,y’,z’)\end{align*}
と表されることを見た。
内容
ニュートンポテンシャル
重力場や電磁場のように大きさが距離の2乗に逆比例する場のポテンシャルをニュートンポテンシャルという。
粒子が点\(\boldsymbol d\)に存在しているとき、点\(\boldsymbol r\)におけるニュートンポテンシャルは係数を除けば次のような関数で表すことができる。
\begin{align*}\frac{1}{\vert\boldsymbol r-\boldsymbol d\vert}\tag{1}\end{align*}
例えば、質量が\(m\),電荷が\(q\),磁荷が\(q_m\)の粒子が点\(\boldsymbol d\)に存在しているとき、点\(\boldsymbol r\)における重力ポテンシャル、クーロンポテンシャルは次のようになっている。
\begin{align*}-\frac{Gm}{\vert\boldsymbol r-\boldsymbol d\vert}\\\frac{kq}{\vert\boldsymbol r-\boldsymbol d\vert}\\\frac{k’q_m}{\vert\boldsymbol r-\boldsymbol d\vert}\end{align*}
ニュートンポテンシャルの多重極展開
ニュートンポテンシャル
\begin{align*}\frac{1}{\vert\boldsymbol r-\boldsymbol d\vert}\tag{1}\end{align*}
は角度に依存する関数であるため、テイラー展開は前ページでみた多重極展開となる。
ニュートンポテンシャルにおいて、ベクトル\(\boldsymbol d\)について多重極展開を行なってみる。そのため、ニュートンポテンシャルのベクトル\(\boldsymbol d\)を変数、ベクトル\(\boldsymbol r\)を定数として次のように直交座標表示
\begin{align*}\boldsymbol d&=(x,y,z)\\\boldsymbol r&=(r_x,r_y,r_z)\end{align*}
にすると、ニュートンポテンシャルの関数\(f(\boldsymbol d)\)は次のように直交座標表示\(f(x,y,z)\)で表すことができる。
\begin{align*}f(\boldsymbol d)&=\frac{1}{\vert\boldsymbol r-\boldsymbol d\vert}\\&=f(x,y,z)\\&=\frac{1}{\sqrt{(r_x-x)^2+(r_y-y)^2+(r_z-z)^2}}\\&=\{(r_x-x)^2+(r_y-y)^2+(r_z-z)^2\}^{-\frac{1}{2}}\tag{2}\end{align*}
関数\(f(\boldsymbol d)\)を原点\((0,0,0)\)まわりで多重極展開を行なうと
\begin{align*}f(\boldsymbol d)&=f(0,0,0)\\&\ \ \ +\left[x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}+z\frac{\partial }{\partial z}\right]f(0,0,0)\\&\ \ \ +\frac{1}{2}\left[x^2\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+y^2\frac{\partial^2}{\partial y^2}+z^2\frac{\partial^2}{\partial z^2}+2xy\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}+2yz\frac{\partial^2}{\partial y\partial z}+2zx\frac{\partial^2}{\partial z\partial x}\right]f(0,0,0)\\&\ \ \ +\frac{1}{3!}\cdots\\&\ \ \ +\cdots\tag{1}\end{align*}
となり、各微分項を計算すると
\begin{align*}\frac{\partial}{\partial x}f(0,0,0)&=\frac{1}{2}(r_x^2+r_y^2+r_z^2)^{-\frac{3}{2}}2r_x=r_x\vert\boldsymbol r\vert^{-3}\\\frac{\partial}{\partial y}f(0,0,0)&=\frac{1}{2}(r_x^2+r_y^2+r_z^2)^{-\frac{3}{2}}2r_y=r_y\vert\boldsymbol r\vert^{-3}\\\frac{\partial}{\partial z}f(0,0,0)&=\frac{1}{2}(r_x^2+r_y^2+r_z^2)^{-\frac{3}{2}}2r_z=r_z\vert\boldsymbol r\vert^{-3}\\\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(0,0,0)&=-(r_x^2+r_y^2+r_z^2)^{-\frac{3}{2}}+3r_x^2(r_x^2+r_y^2+r_z^2)^{-\frac{5}{2}}=-\vert\boldsymbol r\vert^{-3}+3r_x^2\vert\boldsymbol r\vert^{-5}\\\frac{\partial^2}{\partial y^2}f(0,0,0)&=-(r_x^2+r_y^2+r_z^2)^{-\frac{3}{2}}+3r_y^2(r_x^2+r_y^2+r_z^2)^{-\frac{5}{2}}=-\vert\boldsymbol r\vert^{-3}+3r_y^2\vert\boldsymbol r\vert^{-5}\\\frac{\partial^2}{\partial z^2}f(0,0,0)&=-(r_x^2+r_y^2+r_z^2)^{-\frac{3}{2}}+3r_z^2(r_x^2+r_y^2+r_z^2)^{-\frac{5}{2}}=-\vert\boldsymbol r\vert^{-3}+3r_z^2\vert\boldsymbol r\vert^{-5}\\\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}f(0,0,0)&=3r_xr_y(r_x^2+r_y^2+r_z^2)^{-\frac{5}{2}}=3r_xr_y\vert\boldsymbol r\vert^{-5}\\\frac{\partial^2}{\partial y\partial z}f(0,0,0)&=3r_yr_z(r_x^2+r_y^2+r_z^2)^{-\frac{5}{2}}=3r_yr_z\vert\boldsymbol r\vert^{-5}\\\frac{\partial^2}{\partial z\partial x}f(0,0,0)&=3r_zr_x(r_x^2+r_y^2+r_z^2)^{-\frac{5}{2}}=3r_zr_x\vert\boldsymbol r\vert^{-5}\end{align*}
となることから、これらを代入すると関数\(f(\boldsymbol d)\)の多重極展開は
\begin{align*}f(\boldsymbol d)=\frac{1}{\vert\boldsymbol r\vert}+\frac{xr_x+yr_y+zr_ z}{\vert\boldsymbol r\vert^3}+\frac{3(xr_x+yr_ y+zr_z)^2-\vert\boldsymbol r\vert^2(r_ x+r_y+r_z)^2}{2\vert \boldsymbol r\vert^5}+\cdots\tag{3}\end{align*}
となる。全ての項においてベクトル\(\boldsymbol d\)と\(\boldsymbol r\)で表すと
\begin{align*}\frac{1}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol d\vert}=\frac{1}{\vert\boldsymbol r\vert}+\frac{\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r\vert^3}+\frac{3\vert\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d\vert^2-\vert\boldsymbol r\vert^2\vert\boldsymbol d\vert^2}{2\vert \boldsymbol r\vert^5}+\cdots\tag{4}\end{align*}
と綺麗にまとまってニュートンポテンシャルの多重極展開を表すことができる。
ルジャンドル多項式による表示
ニュートンポテンシャルの多重極展開
\begin{align*}\frac{1}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol d\vert}=\frac{1}{\vert\boldsymbol r\vert}+\frac{\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r\vert^3}+\frac{3\vert\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d\vert^2-\vert\boldsymbol r\vert^2\vert\boldsymbol d\vert^2}{2\vert \boldsymbol r\vert^5}+\cdots\tag{4}\end{align*}
において、ベクトル\(\boldsymbol d\)と\(\boldsymbol r\)のなす角を\(\gamma\)とすると次の内積の公式
\begin{align*}\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d=\vert\boldsymbol r\vert\vert\boldsymbol d\vert\cos\gamma\tag{5}\end{align*}
が成り立つため、
\begin{align*}\frac{1}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol d\vert}&=\frac{1}{\vert\boldsymbol r\vert}+\frac{\vert\boldsymbol r\vert\vert\boldsymbol d\vert\cos\gamma}{\vert\boldsymbol r\vert^3}+\frac{\vert\boldsymbol r\vert^2\vert\boldsymbol d\vert^2(3\cos^2\gamma-1)}{2\vert \boldsymbol r\vert^5}+\cdots\\&=\sum_{l=0}^\infty\frac{\vert\boldsymbol d\vert^{l}}{\vert\boldsymbol r\vert^{l+1}}P_l(\cos\gamma)\tag{6}\end{align*}
とルジャンドル多項式\(P_l(\cos\gamma)\)を用いて表すことができる(ルジャンドル多項式については以前のページを参照)。
なぜルジャンドル多項式\(P_l(\cos\gamma)\)で表すことができるかというと、ルジャンドル多項式の母関数は
\begin{align*}\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{l=0}^\infty P_l(x)t^l\tag{7}\end{align*}
であり(以前のページを参照)、またニュートンポテンシャル\(f(\boldsymbol d)\)は
\begin{align*}f(\boldsymbol d)&=\frac{1}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol d\vert}\\&=\frac{1}{\sqrt{(\boldsymbol r-\boldsymbol d)\cdot(\boldsymbol r-\boldsymbol d)}}\\&=\frac{1}{\sqrt{\vert\boldsymbol r\vert^2+\vert\boldsymbol d\vert^2-2\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d}}\\&=\frac{1}{\sqrt{\vert\boldsymbol r\vert^2+\vert\boldsymbol d\vert^2-2\vert\boldsymbol r\vert\vert\boldsymbol d\vert\cos\gamma}}\\&=\frac{1}{\vert\boldsymbol r\vert\sqrt{1+\frac{\vert\boldsymbol d\vert^2}{\vert\boldsymbol r\vert^2}-2\frac{\vert\boldsymbol d\vert}{\vert\boldsymbol r\vert}\cos\gamma}}\tag{8}\end{align*}
であるから、式(7)において\(t=\vert\boldsymbol d\vert/\vert\boldsymbol r\vert\)と\(x=\cos\gamma\)と置き換えすると式(6)が得られる。
そもそも、1782年にアドリアン=マリ-ルジャンドルがルジャンドル多項式を見つけたとき、ニュートンポテンシャルの関数を展開したときの係数として初めて発見したのである。
ニュートンポテンシャルの収束半径
ニュートンポテンシャル\(f(\boldsymbol d)\)を原点\((x,y,z)\)まわりで多重極展開すると、
\begin{align*}f(\boldsymbol d)&=\frac{1}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol d\vert}\\&=\frac{1}{\vert\boldsymbol r\vert}+\frac{\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r\vert^3}+\frac{3\vert\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d\vert^2-\vert\boldsymbol r\vert^2\vert\boldsymbol d\vert^2}{2\vert \boldsymbol r\vert^5}+\cdots\tag{4}\end{align*}
となったが、ニュートンポテンシャル\(f(\boldsymbol d)\)の特異点は\(\boldsymbol d=\boldsymbol r\)であるため、多重極展開した原点\((x,y,z)\)から特異点までの距離は\(\vert\boldsymbol r\vert\)であり、収束半径は\(\vert\boldsymbol r\vert\)となる。
以上より、上記の多重極展開は\(\vert\boldsymbol d\vert<\vert\boldsymbol r\vert\)の範囲で成り立つ。もし、\(\vert\boldsymbol d\vert>\vert\boldsymbol r\vert\)の範囲で多重極展開したければ、\(\boldsymbol d\)と\(\boldsymbol r\)を次のように入れ替えれば良い。
\begin{align*}f(\boldsymbol r)&=\frac{1}{\vert \boldsymbol d-\boldsymbol r\vert}\\&=\frac{1}{\vert\boldsymbol d\vert}+\frac{\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol d\vert^3}+\frac{3\vert\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d\vert^2-\vert\boldsymbol r\vert^2\vert\boldsymbol d\vert^2}{2\vert \boldsymbol d\vert^5}+\cdots\tag{9}\end{align*}
次ページから…
次ページでは、逆二乗場
\begin{align*}\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r-\boldsymbol d\vert^3}\end{align*}
の多重極展開が\(\boldsymbol d\)が充分小さいときに
\begin{align*}\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r-\boldsymbol d\vert^3}\simeq\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol d}{\vert\boldsymbol r\vert^3}+\frac{3(\boldsymbol r\cdot\boldsymbol d)\boldsymbol r}{\vert\boldsymbol r\vert^5}\end{align*}
と表されることをみる。
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