HOME ＞ 場の量子論 ＞ 複素スカラー場の量子論 ＞ 粒子と反粒子
【前ページ】 【次ページ】
本ページでは…
本ページでは、複素スカラー場で現れた\(\hat a_+^\dagger(\boldsymbol k)\),\(\hat a_+(\boldsymbol k)\)は粒子に関する生成消滅演算子であるが、\(\hat a_-^\dagger(\boldsymbol k)\),\(\hat a_-(\boldsymbol k)\)は反粒子に関する生成消滅演算子であることを確認する。
前ページまで…
前ページでは、生成消滅演算子を用いて電荷演算子\(\hat{\mathcal Q}\)が
\begin{align}\hat {\mathcal Q}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{q}{2}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})-\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\end{align}
と表されることを見て、正規順序をとると
\begin{align}\hat {\mathcal Q}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ q\left\{\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\end{align}
となることを確認した。
内容
粒子と反粒子
ここまでに、ハミルトニアン\(\hat H\)と運動量演算子\(\hat{\boldsymbol P}\)、そして電荷演算子\(\hat{\mathcal Q}\)を生成消滅演算子で表してきた。
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ E_k\left\{\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\tag{1}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \boldsymbol{k}\left\{\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\tag{2}\\\hat {\mathcal Q}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ q\left\{\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\tag{3}\end{align}
生成消滅演算子がそれぞれ2種類あった理由がここで判明する。
初めに、以前のページで求めた生成消滅演算子の交換関係
\begin{align}[\hat a_\pm(\boldsymbol{k}),\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol{k’})]&=\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\tag{4}\\ それ以外の交換関係&=0\tag{5}\end{align}
を用いて、ハミルトニアン\(\hat H\)、運動量演算子\(\hat{\boldsymbol P}\)、電荷演算子\(\hat{\mathcal Q}\)と生成演算子\(\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol k)\)との交換関係を求めると
\begin{align*}[\hat H,\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol k)]&=E_k\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol k)\tag{6}\\ [\hat {\boldsymbol P},\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol k)]&=\boldsymbol k\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol k)\tag{7}\\ [\hat {\mathcal Q},\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol k)]&=\pm q\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol k)\tag{8}\end{align*}
となる。真空状態\(\vert0\rangle\)ではエネルギー\(H\)と運動量\(\boldsymbol P\)、電荷\(\mathcal Q\)が\(0\)だとすると、真空状態は次の関係
\begin{align*}\hat H\vert0\rangle&=0\tag{9}\\\hat {\boldsymbol P}\vert0\rangle&=0\tag{10}\\\hat {\mathcal Q}\vert0\rangle&=0\tag{11}\end{align*}
を満たすため、式(6),(7),(8)の右から真空状態\(\vert0\rangle\)をかけると
\begin{align*}\hat H\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol k)\vert0\rangle&=E_k\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol k)\vert0\rangle\tag{12}\\\hat {\boldsymbol P}\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol k)\vert0\rangle&=\boldsymbol k\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol k)\vert0\rangle\tag{13}\\\hat {\mathcal Q}\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol k)\vert0\rangle&=\pm q\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol k)\vert0\rangle\tag{14}\end{align*}
となる。これらの式より、\(\hat a_+^\dagger(\boldsymbol k)\vert0\rangle\)と\(\hat a_-^\dagger(\boldsymbol k)\vert0\rangle\)はエネルギーと運動量は等しい(\(E_k=\sqrt{\boldsymbol k^2+m^2}\)より、質量\(m\)が等しい)が電荷の符号が逆の状態であることが分かり、\(\vert \boldsymbol k,+q\rangle\)
\begin{align*}\vert \boldsymbol k,+q\rangle=\hat a_+^\dagger(\boldsymbol k)\vert0\rangle\tag{15}\end{align*}
を粒子の状態とすると、\(\vert \boldsymbol k,-q\rangle\)
\begin{align*}\vert \boldsymbol k,-q\rangle=\hat a_-^\dagger(\boldsymbol k)\vert0\rangle\tag{16}\end{align*}
は反粒子の状態となることが分かる。つまり、\(\hat a_+^\dagger(\boldsymbol k)\),\(\hat a_+(\boldsymbol k)\)は粒子に関する生成消滅演算子であるが、\(\hat a_-^\dagger(\boldsymbol k)\),\(\hat a_-(\boldsymbol k)\)は反粒子に関する生成消滅演算子である。
クライン-ゴルドン方程式のときやディラック方程式のときでも反粒子の存在が示唆されたが、粒子と反粒子とで扱いが異なるものであった。一方、ハミルトニアン\(\hat H\)と運動量演算子\(\hat{\boldsymbol P}\)、そして電荷演算子\(\hat{\mathcal Q}\)を見ると、複素スカラー場の理論では、粒子と反粒子とで扱いは全く同じになっていることが分かる。
複素スカラー場と実スカラー場
再度、複素スカラー場
\begin{align}\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\tag{17}\\\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a_-(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\tag{18}\end{align}
を眺めてみると、複素スカラー場\(\hat\varPhi\)には反粒子の生成演算子\(\hat a_-^\dagger(\boldsymbol k)\)と粒子の消滅演算子\(\hat a_+(\boldsymbol k)\)が含まれており、複素スカラー場の複素共役\(\hat \varPhi^\dagger\)には粒子の生成演算子\(\hat a_+^\dagger(\boldsymbol k)\)と反粒子の消滅演算子\(\hat a_-(\boldsymbol k)\)が含まれていることが分かる。このように粒子の生成消滅演算子と反粒子の生成消滅演算子とが絡み合って現れているのは、複素スカラー場\(\hat\varPhi\)と\(\varPhi^\dagger\)とが複素共役で結ばれているという制限が掛かっているからである。単に自由度が2つあるスカラー場であれば、異なる粒子の生成消滅演算子は個別に現れ、それぞれの粒子は粒子-反粒子の関係にもない。
最後に、実スカラー場では\(\varPhi=\varPhi^\dagger\)であるため、実スカラー場の理論で現れる粒子は、粒子と反粒子が等しいものであったことが分かる。
次ページから…
【前ページ】 【次ページ】
HOME ＞ 場の量子論 ＞ 複素スカラー場の量子論 ＞ 粒子と反粒子
