回転

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本ページでは…

　本ページでは、回転がベクトル場の各点のベクトル値を、向きが｢点に球を置いて回転したときに、右手系となる回転軸の向き｣で大きさが｢回転の大きさ｣であるベクトルに置き換える作用素であることをみる。また、3次元デカルト座標では回転\(\boldsymbol\nabla\)は

\begin{align*}\boldsymbol\nabla×=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)×\end{align*}

となることを求める。

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　前ページでは、位置ベクトル\(\boldsymbol r\)の発散\(\boldsymbol\nabla \cdot\boldsymbol r\)が

\begin{align*}\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol r&=3\end{align*}

となり、逆二乗場の発散\(\boldsymbol\nabla \cdot(\vert\boldsymbol r\vert^{-3}\boldsymbol r)\)が

\begin{align*}\boldsymbol\nabla\cdot(\vert\boldsymbol r\vert^{-3}\boldsymbol r)&=0\end{align*}

となることをみた。また、ニュートンポテンシャルの勾配の発散が

\begin{align*}\boldsymbol\nabla^2\vert\boldsymbol r\vert^{-1}&=0\end{align*}

となることもみた。

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内容

回転

　ベクトル場の各点におけるベクトル値を、向きが｢点に球を置いて回転したときに、右手系となる回転軸の向き｣で大きさが｢回転の大きさ｣である回転ベクトルに対応させる作用素(演算子)を回転といい、\(\boldsymbol\nabla×\)または\(\text{rot}\)で表す。この回転によって、ベクトル場は回転ベクトル場と呼ばれるベクトル場に変換され、ベクトル場を\(\boldsymbol f\)とすると回転ベクトル場は\(\boldsymbol \nabla ×\boldsymbol f\)と表される。つまり、常に回転はベクトル場に作用し、作用後はベクトル場となる。

3次元デカルト座標における回転

　3次元デカルト座標における回転が

\begin{align*}\boldsymbol\nabla×=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)×\tag{1}\end{align*}

となること、言い換えると、ベクトル場が\(\boldsymbol f=(f_x,f_y,f_z)\)のときに回転ベクトル\(\boldsymbol\nabla ×\boldsymbol f\)

\begin{align*}\boldsymbol \nabla×\boldsymbol f=\left(\frac{\partial f_z}{\partial y}-\frac{\partial f_y}{\partial z},\frac{\partial f_x}{\partial z}-\frac{\partial f_z}{\partial x},\frac{\partial f_y}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial y}\right)\tag{2}\end{align*}

の向きが｢点に球を置いて回転したときに、右手系となる回転軸の向き｣で大きさが｢回転の大きさ｣であることを確認する。

　初めに、\(z\)軸に垂直な正方形の面\(dx×dy\)が点\((x,y,z)\)を中心に配置されていると考える。正方形において、\(dx\)だけ移動するとき、\(\frac{\partial f_y}{\partial x}\)が正となるのなら、\(x\)の値が大きいほどベクトル場\(\boldsymbol f\)の\(y\)成分\(f_y\)は大きくなる。つまり、正方形の真ん中に球を置いたとき、球は\(z\)軸の正方向を右手系となる回転軸として回転するはずである。一方、\(dy\)だけ移動するとき、\(\frac{\partial f_x}{\partial y}\)が正となるのなら、\(y\)の値が大きいほどベクトル場\(\boldsymbol f\)の\(x\)成分\(f_x\)は大きくなる。つまり、正方形の真ん中に球を置いたとき、球は\(z\)軸の負方向を右手系となる回転軸として回転するはずである。以上より、\(z\)軸に垂直な正方形の面\(dx×dy\)において、点に球を置いて回転したときに、右手系となる回転軸の向きは\(z\)軸の正方向となり、その大きさは

\begin{align*}\frac{\partial f_y}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial y}\end{align*}

となる。

　\(z\)軸に垂直な正方形の面\(dx×dy\)と同様に、\(x\)軸に垂直な正方形の面\(dy×dz\)において、点に球を置いて回転したときに右手系となる回転軸の向きは\(x\)軸の正方向となり、その大きさは

\begin{align*}\frac{\partial f_z}{\partial y}-\frac{\partial f_y}{\partial z}\end{align*}

となり、\(y\)軸に垂直な正方形の面\(dz×dx\)において、点に球を置いて回転したときに右手系となる回転軸の向きは\(y\)軸の正方向となり、その大きさは

\begin{align*}\frac{\partial f_x}{\partial z}-\frac{\partial f_z}{\partial x}\end{align*}

となる。よって、全方向の成分を合わせると

\begin{align*}\left(\frac{\partial f_z}{\partial y}-\frac{\partial f_y}{\partial z},\frac{\partial f_x}{\partial z}-\frac{\partial f_z}{\partial x},\frac{\partial f_y}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial y}\right)\tag{2}\end{align*}

なり、向きが｢点に球を置いて回転したときに、右手系となる回転軸の向き｣で大きさが｢回転の大きさ｣であるから、これが回転ベクトルである。

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となることをみる。

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