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本ページでは…
本ページでは、位置ベクトル\(\boldsymbol r\)の回転\(\boldsymbol\nabla ×\boldsymbol r\)が
\begin{align*}\boldsymbol\nabla×\boldsymbol r&=\boldsymbol 0\end{align*}
となり、回転における積の微分公式が
\begin{align*}\boldsymbol\nabla×(g\boldsymbol f)&=\boldsymbol\nabla g×\boldsymbol f+g\boldsymbol\nabla×\boldsymbol f\end{align*}
となることをみる。
前ページまで…
前ページでは、回転がベクトル場の各点のベクトル値を、向きが｢その点に生じている渦の回転軸(右手系)の向き｣で大きさが｢渦の強さ｣であるベクトルに置き換える作用素であることをみた。また、3次元デカルト座標では回転\(\boldsymbol\nabla\)は
\begin{align*}\boldsymbol\nabla×=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)×\end{align*}
となることを求めた。
内容
位置ベクトルの回転
原点からある点\((x,y,z)\)までの位置ベクトルを各点のベクトル値として対応させたベクトル場
\begin{align*}\boldsymbol r=(x,y,z)\tag{1}\end{align*}
を考えたとき、回転\(\boldsymbol \nabla×\)をこのベクトル場に作用させた回転ベクトル\(\boldsymbol\nabla ×\boldsymbol r\)は次のようになる。
\begin{align*}\boldsymbol\nabla×\boldsymbol r&=\boldsymbol 0\tag{2}\end{align*}
回転における積の微分公式
関数\(g\)とベクトル場\(\boldsymbol f\)との積に回転を作用させたとき、回転ベクトル\(\boldsymbol\nabla×(g\boldsymbol f)\)は次のようになる。
\begin{align*}\boldsymbol\nabla×(g\boldsymbol f)&=\boldsymbol\nabla g×\boldsymbol f+g\boldsymbol\nabla×\boldsymbol f\tag{3}\end{align*}
距離の2乗を掛けた位置ベクトルの回転
先程のベクトル場(1)に原点からの距離の二乗\(\vert\boldsymbol r\vert^2\)を掛けたベクトル場\(\vert\boldsymbol r\vert^{2}\boldsymbol r\)を考えたとき、回転\(\boldsymbol \nabla×\)をこのベクトル場に作用させた回転ベクトル\(\boldsymbol\nabla ×(\vert\boldsymbol r\vert^{2}\boldsymbol r)\)は次のようになる。
\begin{align*}\boldsymbol\nabla×(\vert\boldsymbol r\vert^{2}\boldsymbol r)&=\boldsymbol 0\tag{4}\end{align*}
\begin{align*}\boldsymbol\nabla×(\vert\boldsymbol r\vert^{2}\boldsymbol r)&=\boldsymbol\nabla\vert\boldsymbol r\vert^{2}×\boldsymbol r+\vert\boldsymbol r\vert^{2}(\boldsymbol \nabla×\boldsymbol r)\\&=2\boldsymbol r×\boldsymbol r+\vert\boldsymbol r\vert^2 \cdot\boldsymbol 0\\&=\boldsymbol 0\end{align*}
1行目の変形では回転における積の微分公式(3)を用い、2行目への変形では勾配の公式(以前のページを参照)
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\vert\boldsymbol r\vert^n=n\vert\boldsymbol r\vert^{n-2}\boldsymbol r\end{align*}
と式(2)
\begin{align*}\boldsymbol\nabla×\boldsymbol r&=\boldsymbol 0\end{align*}
を用い、3行目への変形では平行なベクトル同士の外積がゼロになることを用いた。
距離に逆比例するベクトルの回転
定数ベクトル\(\boldsymbol a=(a_x,a_y,a_z)\)に原点からの距離の逆数を掛けたベクトル場\(\boldsymbol a/\vert \boldsymbol r\vert\)を考えたとき、回転\(\boldsymbol \nabla×\)をこのベクトル場に作用させた回転ベクトル\(\boldsymbol\nabla ×(\boldsymbol a/\vert \boldsymbol r\vert)\)は次のようになる。
\begin{align*}\boldsymbol\nabla×\frac{\boldsymbol a}{\vert \boldsymbol r\vert}&=\boldsymbol a×\frac{\boldsymbol r}{\vert \boldsymbol r\vert^3}\tag{5}\end{align*}
\begin{align*}\boldsymbol\nabla×\frac{\boldsymbol a}{\vert \boldsymbol r\vert}&=\left(\boldsymbol \nabla\frac{1}{\vert \boldsymbol r\vert}\right)×\boldsymbol a+\frac{1}{\vert\boldsymbol r\vert}\boldsymbol\nabla×\boldsymbol a\\&=-\frac{\boldsymbol r}{\vert \boldsymbol r\vert^3}×\boldsymbol a\\&=\boldsymbol a×\frac{\boldsymbol r}{\vert \boldsymbol r\vert^3}\tag{5}\end{align*}
1行目の変形では回転における積の微分公式(3)を用い、2行目への変形では勾配の公式(以前のページを参照)
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\vert\boldsymbol r\vert^n=n\vert\boldsymbol r\vert^{n-2}\boldsymbol r\end{align*}
と定数ベクトル\(\boldsymbol a\)の回転はゼロベクトルになることを用い、3行目への変形では外積の順序を入れ替えた。
次ページから…
次ページでは、発散\(\nabla\cdot \boldsymbol f\)の体積積分を流束密度\(\boldsymbol f\)の面積分に結び付ける発散定理
\begin{align*}\int_V \nabla\cdot \boldsymbol f\ dxdydz=\int_S \boldsymbol f\cdot d\boldsymbol S\end{align*}
を導出する。
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