時空並進不変性と全エネルギー運動量保存(複素場の理論)

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 本ページでは、複素場の理論におけるネーターの定理を用いることにより時空並進不変性から全エネルギー運動量保存則が導かれることを確認する。

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前ページでは、複素場の理論において、連続的な無限小変換によって作用積分\(S\)が変わらない、つまり、物理法則が変わらないとき、ネーターカレント\(N^\mu\)

\begin{align*}N^\mu=\delta_Q \varPhi\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial _\mu \varPhi)}+\delta_Q \varPhi^*\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial _\mu \varPhi^*)}-K^\mu\end{align*}

における流れの保存

\begin{align*}\partial_\mu N^\mu=0\end{align*}

が成り立つことを表す「複素場の理論におけるネーターの定理」を導いた。ここで、関数\(K^\mu\)は次の関係

\begin{align*}\delta_Q\mathscr L=\partial_\mu K^\mu\end{align*}

を満たすものである。

 また、このとき、\(N^0\)の空間積分で表される物理量\(Q\)

\begin{align*}Q=\int d^3\boldsymbol x\ N^0\end{align*}

は次の関係式

\begin{align*}\frac{d}{dt}Q=0\end{align*}

を満たし、保存量となることを確認した。

内容

時空並進不変性

時空並進不変性は「時空座標を回転させず平行にずらしても物理法則は変わらない」、言い換えると、「時空に特別な点はない」ことを意味する。

 複素場の理論において、このことをグラフで考えてみよう。横軸を時空座標\(x\)、縦軸を複素場\(\varPhi\),\(\varPhi^*\)として運動方程式を描くと、この運動方程式の各点はラグランジアン密度\(\mathscr L\)の値を持ち、その値は複素場\(\varPhi\),\(\varPhi^*\)と複素場の時空微分\(\partial \varPhi\),\(\partial\varPhi^*\)によって決まる。そして、時空座標\(x\)の向きである横軸に沿って時空座標\(x\)を無限小定数\(\epsilon\)だけ(無限小)並進させる。このとき、複素場\(\varPhi\),\(\varPhi^*\)の無限小変換は

\begin{align}\varPhi(x)&\rightarrow\varPhi(x+\epsilon)=\varPhi(x)+\epsilon_\mu\partial^\mu\varPhi(x)=\varPhi(x)+\delta_P\varPhi\tag{1}\\\varPhi^*(x)&\rightarrow\varPhi^*(x+\epsilon)=\varPhi^*(x)+\epsilon_\mu\partial^\mu\varPhi^*(x)=\varPhi^*(x)+\delta_P\varPhi^*\tag{2}\end{align}

となり、時空並進不変性はこの時に作用積分\(S\)が変わらないことに対応する。このとき、複素場\(\varPhi\),\(\varPhi^*\)の無限小変化量は

\begin{align*}\delta_P\varPhi&=\epsilon_\mu\partial^\mu\varPhi\tag{3}\\\delta_P\varPhi^*&=\epsilon_\mu\partial^\mu\varPhi^*\tag{4}\end{align*}

となる。また、このときのラグランジアン密度の微小変化は

\begin{align}\delta_P\mathscr L&=\partial_\mu(\epsilon_\nu\eta^{\mu\nu}\mathscr L)\tag{5}\end{align}

\begin{align}\delta_P\mathscr L&=\mathscr L(\varPhi(x+\epsilon),\varPhi^*(x+\epsilon))-\mathscr L(\varPhi(x),\varPhi^*(x))\\&=\epsilon_\nu\partial^\nu\mathscr L\\&=\partial_\mu(\epsilon_\nu\eta^{\mu\nu}\mathscr L)\end{align}

となるため、次の関係(前ページを参照)

\begin{align*}\delta_P\mathscr L=\partial_\mu K^\mu\tag{6}\end{align*}

を満たす関数\(K^\mu\)は

\begin{align*}K^\mu=\epsilon_\nu\eta^{\mu\nu}\mathscr L\tag{7}\end{align*}

となる。

時空並進不変性と全エネルギー運動量保存

 それでは、時空並進不変性が全エネルギー運動量保存則と関係していることをネーターの定理から導く。

 ラグランジアン密度として次の形(以前のページを参照)

\begin{align}\mathscr{L}=\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi-\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\tag{8}\end{align}

を仮定したとき、式(3),(4)と式(7)をネーターカレントの式(前ページを参照)

\begin{align*}N^\mu=\delta_P \varPhi\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial _\mu \varPhi)}+\delta_P \varPhi^*\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial _\mu \varPhi^*)}-K^\mu\tag{9}\end{align*}

に代入するとネーターカレントは

\begin{align}N^\mu&=\epsilon_\nu(\partial^\mu \varPhi^*\partial^\nu\varPhi+\partial^\nu \varPhi^*\partial^\mu\varPhi-\eta^{\mu\nu}\mathscr{L})\tag{10}\end{align}

\begin{align}N^\mu&=\delta_Q \varPhi\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_\mu \varPhi)}+\delta_Q \varPhi^*\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial \mu \varPhi^*)}-K^\mu\\&=\epsilon_\nu\partial^\nu\varPhi\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\varPhi)}\left(\partial_\tau\varPhi^*\partial^\tau\varPhi\right)+\epsilon_\nu\partial^\nu\varPhi^*\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\varPhi^*)}\left(\partial_\tau\varPhi^*\partial^\tau\varPhi\right)-\epsilon_\nu\eta^{\mu\nu}\mathscr L\\&=\epsilon_\nu\partial^\nu\varPhi\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\varPhi)}\left(\eta^{\tau\rho}\partial_\tau\varPhi^*\partial_\rho\varPhi\right)+\epsilon_\nu\partial^\nu\varPhi^*\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\varPhi^*)}\left(\eta^{\tau\rho}\partial_\tau\varPhi^*\partial_\rho\varPhi\right)-\epsilon_\nu\eta^{\mu\nu}\mathscr L\\&=\epsilon_\nu\partial^\nu\varPhi\eta^{\tau\rho}\partial_\tau\varPhi^*\frac{\partial\left(\partial_\rho\varPhi\right)}{\partial (\partial_\mu\varPhi)}+\epsilon_\nu\partial^\nu\varPhi^*\eta^{\tau\rho}\frac{\partial\left(\partial_\tau\varPhi^*\right)}{\partial (\partial_\mu\varPhi^*)}\partial_\rho\varPhi-\epsilon_\nu\eta^{\mu\nu}\mathscr L\\&=\epsilon_\nu\partial^\nu\varPhi\eta^{\tau\rho}\partial_\tau\varPhi^*\delta_\rho{}^\mu+\epsilon_\nu\partial^\nu\varPhi^*\eta^{\tau\rho}\delta_\tau{}^\mu\partial_\rho\varPhi-\epsilon_\tau\eta^{\mu\tau}\mathscr L\\&=\epsilon_\nu(\partial^\mu \varPhi^*\partial^\nu\varPhi+\partial^\nu \varPhi^*\partial^\mu\varPhi-\eta^{\mu\nu}\mathscr{L})\end{align}

3行目への変形では計量テンソル\(\eta^{\nu\rho}\)を用いて上付き添字を下付き添字に変えた(以前のページを参照)。

となり、ネーターカレント\(N^\mu\)は流れの保存

\begin{align*}\partial_\mu N^\mu=0\tag{11}\end{align*}

を満たす。ここで、次のようなエネルギー運動量テンソル\(T ^{\mu\nu}\)

\begin{align}T ^{\mu\nu}=\partial^\mu \varPhi^*\partial^\nu\varPhi+\partial^\nu \varPhi^*\partial^\mu\varPhi-\eta^{\mu\nu}\mathscr{L}\tag{12}\end{align}

を定義すると、ネーターカレントは

\begin{align}N^\mu=\epsilon_\nu T ^{\mu\nu}\tag{13}\end{align}

となる。複素場の理論におけるネーターの定理より、このネーターカレント\(N ^{\mu}\)の時間成分(\(\mu=0\))を空間積分した量\(Q\)

\begin{align}Q&=\epsilon_\nu\int{d}^3\boldsymbol x\ T^{0\nu}\\&=\epsilon_\nu\int{d}^3\boldsymbol x\ \left\{\partial^0 \varPhi^*\partial^\nu\varPhi+\partial^\nu \varPhi^*\partial^0\varPhi-\eta^{0\nu}\mathscr L\right\}\tag{14}\end{align}

が保存量となり、エネルギー運動量\(P^\nu\)

\begin{align*}P^\nu=\int{d}^3\boldsymbol x\ \left\{\partial^0 \varPhi^*\partial^\nu\varPhi+\partial^\nu \varPhi^*\partial^0\varPhi-\eta^{0\nu}\mathscr L\right\}\tag{15}\end{align*}

を定義して保存量\(Q\)を表すと

\begin{align}Q&=\epsilon_\nu P^\nu\tag{16}\end{align}

となる。よって、複素場の理論においても全エネルギー運動量保存則の背景には時空並進不変性があり、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)の具体的な表式は必要なく、必要なことは無限小変換で作用積分が不変であることだけである。

 エネルギー運動量\(P^\nu\)の時間成分はエネルギー(ハミルトニアン)\(H\)、空間成分は運動量\(P^j\)であり、実際に求めると

\begin{align}H&=P^0\\&=\int{d}^3\boldsymbol x\ \left\{\partial^0 \varPhi^*\partial^0\varPhi+\partial^0 \varPhi^*\partial^0\varPhi-\eta^{00}\mathscr L\right\}\\&=\int{d}^3b\boldsymbol x\ \left\{2\partial^0 \varPhi^*\partial^0\varPhi-\eta^{00}\left(\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi-\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\right)\right\}\\&=\int{d}^3\boldsymbol x\ \left\{\varPi^*\varPi+(\nabla\varPhi^*)\nabla\varPhi+m^2\varPhi^*\varPhi+\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\right\}\tag{17}\\P^j&=\int{d}^3\boldsymbol x\ \left\{\partial^0 \varPhi^*\partial^j\varPhi+\partial^j \varPhi^*\partial^0\varPhi-\eta^{0j}\mathscr L\right\}\\&=\int{d}^3\boldsymbol x\ \left\{\partial^0 \varPhi^*\partial^j\varPhi+\partial^j \varPhi^*\partial^0\varPhi-\eta^{0j}\left(\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi-\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\right)\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol x\ (\varPi^*\partial^j\varPhi+(\partial^j\varPhi^*)\varPi)\tag{18}\end{align}

となる。特にエネルギーに関しては、以前のページでルジャンドル変換によって求めたハミルトニアンと一致する。ここで、正準共役運動量の定義式

\begin{align}\varPi&=\partial^0\varPhi\tag{19}\\\varPi^*&=\partial^0\varPhi^*\tag{20}\end{align}

を用いている。

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次ページでは、複素場の理論におけるネーターの定理を用いることにより位相変換不変性から全電荷保存則が導かれることを確認する。


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