【やさしい解析力学】空間並進不変性と全運動量保存則

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内容
1. 空間並進不変性
2. 空間並進不変性と全運動量保存
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本ページでは、ネーターの定理を用いることにより空間並進不変性から全運動量保存則が導かれることを確認する。

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前ページでは、連続的な無限小変換によって作用積分\(S\)が変わらない、つまり、物理法則が変わらないとき、ネーター電荷\(N\)

\begin{align*}N=\sum_{i=1}^n\delta_N q_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}+\delta_N t\left\{L-\left(\sum_{i=1}^n\dot q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)\right\}\tag{1}\end{align*}

が保存することを表すネーターの定理を導いた。

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空間並進不変性

ここでは、3次元空間内の\(N\)個の粒子の運動を考え、それぞれの粒子の座標を\(\boldsymbol{x}_a(a=1,2,\cdots,N)\)としておく。

空間並進不変性は「空間座標を回転させず平行にずらしても物理法則は変わらない」、言い換えると、「空間に特別な点はない」ことを意味する。

このことをグラフで考えてみよう。横軸を時間\(t\)、縦軸を一般化座標\(\boldsymbol{x}_a\)として運動方程式を描くと、この運動方程式の各点はラグランジアン\(L\)の値を持ち、その値は時間\(t\)と一般化座標\(\boldsymbol{x}_a\)、そして一般化速度\(\dot{\boldsymbol{x}}_a\)によって決まる。そして、一般化座標\(\boldsymbol{x}_a\)の向きである縦軸に沿って一般化座標\(\boldsymbol{x}_a\)を無限小定数\(\boldsymbol\epsilon\)だけ(無限小)並進させる。このとき、時間\(t\)と一般化座標\(\boldsymbol x_a(t)\)は

\begin{align}t&\rightarrow t’=t\tag{2}\\\boldsymbol{x}_a(t)&\rightarrow\boldsymbol x’_a(t)=\boldsymbol x_a(t)+\boldsymbol{\epsilon}=\boldsymbol x_a(t)+\delta_P\boldsymbol x_a\tag{3}\end{align}

となり、空間並進不変性はこの時に作用積分\(S\)が変わらないことに対応する。このとき、時間\(t\)と一般化座標\(\boldsymbol x_a\)の無限小変化量は

\begin{align*}\delta_Pt&=0\tag{4}\\\delta_P\boldsymbol x_a&=\boldsymbol\epsilon\tag{5}\end{align*}

となる。

空間並進不変性と全運動量保存

それでは、空間並進不変性が全運動量保存則と関係していることをネーターの定理から導く。

式(4)と式(5)をネーター電荷の式(1)に代入すると

\begin{align}N&=\sum_{a=1}^N\delta_P \boldsymbol x_a\cdot\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol x}_a}+\delta_P t\left\{L-\left(\sum_{a=1}^n\dot {\boldsymbol x}_a\cdot\frac{\partial L}{\partial \dot {\boldsymbol x}_a}\right)\right\}\\&=\boldsymbol{\epsilon}\cdot\sum_{a=1}^N\boldsymbol p_a\\&=\boldsymbol{\epsilon}\cdot\boldsymbol{P}\tag{6}\end{align}

となる。ここで、一般化運動量の定義式

\begin{align*}\boldsymbol p_a=\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol x_a}}\tag{7}\end{align*}

を用いた。式(6)より、ネーター電荷\(N\)として全運動量\(\boldsymbol P\)が保存することがわかる。したがって、全運動量保存則の起源は空間並進不変性であり、ラグランジアン\(L\)の具体的な表式は必要なく、必要なことは無限小変換で作用積分が不変であることだけである。

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次ページでは、ネーターの定理を用いることにより時間並進不変性から全エネルギー保存則が導かれることを確認する。

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