【やさしい解析力学】空間並進不変性と全運動量保存則

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内容
1. 空間並進不変性
2. 空間並進不変性と全運動量保存
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本ページでは、ネーターの定理を用いることにより空間並進不変性から全運動量保存則が導かれることを確認する。

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前ページでは、連続的な無限小変換によって作用積分\(S\)が変わらない、つまり、物理法則が変わらないとき、ネーター電荷\(N\)

\begin{align*}N=\sum_{i=1}^n\delta_N q_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-K\tag{1}\end{align*}

が保存することを表すネーターの定理をいた(関数\(K\)は\(q\)と\(\dot q\)から構成される)。

内容

空間並進不変性

ここでは、3次元空間内の\(N\)個の粒子の運動を考え、それぞれの粒子の座標を\(\boldsymbol{q}_a(a=1,2,\cdots,N)\)としておく。

空間並進不変性は「空間座標を回転させず平行にずらしても物理法則は変わらない」、言い換えると、「空間に特別な点はない」ことを意味する。

このことをグラフで考えてみよう。横軸を時間\(t\)、縦軸を一般化座標\(\boldsymbol{q}_a\)として運動方程式を描くと、この運動方程式の各点はラグランジアン\(L\)の値を持ち、その値は時間\(t\)と一般化座標\(\boldsymbol{q}_a\)、そして一般化速度\(\dot{\boldsymbol{q}}_a\)によって決まる。そして、一般化座標\(\boldsymbol{q}_a\)の向きである縦軸に沿って一般化座標\(\boldsymbol{q}_a\)を無限小定数\(\boldsymbol\epsilon\)だけ(無限小)並進させる。このとき、一般化座標\(\boldsymbol q_a(t)\)の無限小変換は

\begin{align}\boldsymbol{q}_a(t)&\rightarrow\boldsymbol q’_a(t)=\boldsymbol q_a(t)+\boldsymbol{\epsilon}=\boldsymbol q_a(t)+\delta_P\boldsymbol q_a\tag{2}\end{align}

となり、空間並進不変性はこの時に作用積分\(S\)が変わらないことに対応する。このとき、一般化座標\(\boldsymbol q_a\)の無限小変化量は

\begin{align*}\delta_P\boldsymbol q_a&=\boldsymbol\epsilon\tag{3}\end{align*}

となる。

今回、ポテンシャルエネルギー\(V\)は座標の差\(\boldsymbol q_i-\boldsymbol q_j(i\neq j)\)のみの関数であるとする(もし、そうでなければ空間並進不変性は成り立たない)。このとき、ラグランジアン\(L\)

\begin{align*}L=\sum_{a=1}^N\frac{\dot {\boldsymbol q}_i}{2m}-V\tag{4}\end{align*}

は空間並進において変化せず(\(\delta_PL=0\))、次の関係(前ページを参照)

\begin{align*}\delta_PL=\frac{\text d}{\text dt}K\tag{5}\end{align*}

を満たす関数\(K\)は

\begin{align*}K=0\tag{6}\end{align*}

となる(厳密には、関数\(K\)はゼロ以外の定数でもよいが、どのような定数を選んでも保存則は導かれるため計算を簡単にするためにゼロを選んでいる)。

空間並進不変性と全運動量保存

それでは、空間並進不変性が全運動量保存則と関係していることをネーターの定理から導く。

式(3)と式(6)をネーター電荷の式(1)に代入すると

\begin{align}N&=\boldsymbol{\epsilon}\cdot\boldsymbol{P}\tag{7}\end{align}

途中式

\begin{align}N&=\sum_{a=1}^N\delta_P \boldsymbol q_a\cdot\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol q}_a}-K\\&=\boldsymbol{\epsilon}\cdot\sum_{a=1}^N\boldsymbol p_a\\&=\boldsymbol{\epsilon}\cdot\boldsymbol{P}\end{align}

2行目への変形では一般化運動量の定義式

\begin{align*}\boldsymbol p_a=\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol q_a}}\end{align*}

を用いた。

となる。式(7)より、ネーター電荷\(N\)として全運動量\(\boldsymbol P\)が保存することがわかる。したがって、全運動量保存則の背景には空間並進不変性があり、ラグランジアン\(L\)の具体的な表式は必要なく、必要なことは無限小変換で作用積分が不変であることだけである。

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次ページでは、ネーターの定理を用いることにより時間並進不変性から全エネルギー保存則が導かれることを確認する。

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