【やさしい電磁気学】静電場まとめ

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1. 静電場まとめ

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本ページでは、静電場の理論で登場した各単語について説明をまとめる。

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前ページでは、電気双極子モーメント\(\boldsymbol p\)が

\begin{align*}\boldsymbol p=q\boldsymbol d\end{align*}

であることをみて、電気双極子のエネルギー\(U\)が

\begin{align*}U&=-\boldsymbol p\cdot\boldsymbol E\end{align*}

となり、電気双極子がつくる電場\(\boldsymbol E\)が

\begin{align*}\boldsymbol E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0\vert\boldsymbol r\vert^3}\left(-\boldsymbol p+\frac{3(\boldsymbol r\cdot\boldsymbol p)\boldsymbol r}{\vert\boldsymbol r\vert^2}\right)\end{align*}

となることを求めた。

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静電場まとめ

真電荷…自由に移動したり外部に取り出したりできる電荷。単位はクーロン\(\text C\)。

分極電荷…束縛電荷ともいう。自由に移動したり外部に取り出したりできない電荷。単位はクーロン(\text C\)。

源場…真電荷が作る場。

力場…電荷に力を与える場。

電束…真電荷のみから出る仮想的な線。単位はクーロン\(\text C\)。

電気力線…真電荷と分極電荷から出る仮想的な線。単位は\(\text N\text m^2\cdot\text C^{-1}\)。

電束密度\(\boldsymbol D\)…単位面積あたりの電束で、単位は\(\text C\cdot\text m^{-2}\)。源場であり、閉曲面内の真電荷の総和\(Q_{\text f}\)を用いてガウスの法則

\begin{align*}\int_S\boldsymbol D\cdot d\boldsymbol S=Q_{\text f}\tag{1}\end{align*}

で定義される。式(1)を解くと、位置\(\boldsymbol r_0\)に存在する真電荷\(Q_{\text f}\)が位置\(\boldsymbol r\)に作る電束密度\(\boldsymbol D\)は

\begin{align*}\boldsymbol D=\frac{Q}{4\pi}\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol r_0}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol r_0\vert^3}\tag{2}\end{align*}

となる。

分極\(\boldsymbol P\)…誘電分極の分極の度合いを表し、単位は\(\text C\cdot\text m^{-2}\)。閉曲面内の分極電荷の総和\(Q_{\text b}\)を用いてガウスの法則

\begin{align*}-\int_S\boldsymbol P\cdot d\boldsymbol S=Q_{\text b}\tag{3}\end{align*}

で定義される。

電場\(\boldsymbol E\)…単位面積あたりの電気力線で、単位は\(\text N\cdot\text C^{-1}\)。力場であり、次式

\begin{align*}\boldsymbol F=q\boldsymbol E\tag{4}\end{align*}

で定義される。式(2)と式(7)より、位置\(\boldsymbol r_0\)に存在する真電荷\(Q_{\text f}\)が位置\(\boldsymbol r\)に作る電場\(\boldsymbol E\)は

\begin{align*}\boldsymbol E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol r_0}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol r_0\vert^3}\tag{5}\end{align*}

となる。

構成方程式…電束密度\(\boldsymbol D\)と電場\(\boldsymbol E\)を分極\(\boldsymbol P\)で結び付ける式。

\begin{align*}\boldsymbol D=\epsilon_0\boldsymbol E+\boldsymbol P\tag{6}\end{align*}

誘電率\(\epsilon\)…誘電体の誘電分極のしやすさを表し、電束密度\(\boldsymbol D\)と電場\(\boldsymbol E\)を結び付ける。

\begin{align*}\boldsymbol E=\frac{1}{\epsilon}\boldsymbol D\tag{7}\end{align*}

電気感受率\(\chi_{\text e}\)…誘電体の誘電分極のしやすさを表し、分極\(\boldsymbol P\)と電場\(\boldsymbol E\)を結び付ける。

\begin{align*}\boldsymbol P=\chi_{\text e}\epsilon_0\boldsymbol E\tag{8}\end{align*}

クーロンの法則…位置\(\boldsymbol r\)に電荷\(q\)、位置\(\boldsymbol r_0\)に電荷\(Q\)が存在するとき、電荷\(q\)には次のクーロン力が働く。

\begin{align*}\boldsymbol F=\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0}\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol r_0}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol r_0\vert^3}\tag{9}\end{align*}

電気双極子…大きさの等しい正負の電荷対。

電気双極子モーメント\(\boldsymbol p\)…負電荷から正電荷に向かうベクトル\(\boldsymbol d\)と電荷の大きさ\(q\)を用いて

\begin{align*}\boldsymbol p=q\boldsymbol d\tag{10}\end{align*}

と表される。また、分極\(\boldsymbol P\)と電気双極子モーメント\(\boldsymbol p\)の関係は次のようになる。

\begin{align*}\boldsymbol P=\frac{\sum_{i=1}^n\boldsymbol p_i}{\Delta V}\tag{11}\end{align*}

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