【やさしい電磁気学】アンペールの法則

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本ページでは、アンペールの法則が

\begin{align*}\boldsymbol F=-\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi}\frac{\boldsymbol r}{\vert \boldsymbol r\vert^2}\end{align*}

であることを確認し、磁場\(\boldsymbol H\)と磁束密度\(\boldsymbol B\)の定義

\begin{align*}\int_C\boldsymbol H\cdot d\boldsymbol l&=I_{\text f}\\\boldsymbol F&=I\boldsymbol l×\boldsymbol B\end{align*}

から導かれることをみる。

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前ページでは、E-H対応において、静電場と静磁場の類似点も相違点について述べた。

内容

アンペールの法則

1820年にアンペールは、真空中において電流\(I_1\)が流れる導線と電流\(I_2\)が流れる導線を\(r\)の距離で平行に置いたときに導線に働く単位長さ当たりの力が電流\(I_1\)と\(I_2\)の積に比例して距離\(r\)に反比例する法則を見つけた。この法則を真空の透磁率\(\mu_0\)を用いて表すと

\begin{align*}F=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi r}\tag{1}\end{align*}

となり、これをアンペールの法則と呼び、力\(F\)をアンペール力と呼ぶ(似た言葉でローレンツ力があるが、アンペール力は導線に働く力であり、ローレンツ力は荷電粒子に働く力である)。ここで、電流\(I_1\)と\(I_2\)の流れる向きが平行ならアンペール力は引力となり、逆平行ならアンペール力は斥力となる。

式(1)はベクトルで表すことができる。電流\(I_2\)が流れる無限に長い直線導線\(2\)が原点を通り、電流\(I_1\)が流れる無限に長い直線導線\(1\)が導線\(2\)に平行で\(\boldsymbol r\cdot\boldsymbol l_2=0\)を満たす位置\(\boldsymbol r\)を通るとき(つまり、\(\boldsymbol r\)は二つの導線それぞれに垂直である)、導線間の距離は\(\vert\boldsymbol r\vert\)となる。また、導線\(1\)が受ける力\(\boldsymbol F\)の向きを表す方向単位ベクトルは\(-\frac{\boldsymbol r}{\vert\boldsymbol r\vert}\)となる。よって、単位長さあたりの導線\(1\)が受ける力は

\begin{align*}\boldsymbol F=-\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi}\frac{\boldsymbol r}{\vert \boldsymbol r\vert^2}\tag{2}\end{align*}

となる。

磁場と磁束密度からの導出

磁場\(\boldsymbol H\)は

\begin{align*}\int_C\boldsymbol H\cdot d\boldsymbol l=I_{\text f}\tag{3}\end{align*}

で定義され(以前のページを参照)、磁束密度\(\boldsymbol B\)は次式

\begin{align*}\boldsymbol F=I\boldsymbol l×\boldsymbol B\tag{4}\end{align*}

で定義されていた(以前のページを参照)が、このように定義した理由は実験で確かめられていたアンペールの法則が導かれるようにするためである。

二つの無限に長い直線導線が方向単位ベクトル\(\boldsymbol l\)の向きで平行に置かれており、それぞれに電流\(I_1\)と電流\(I_2\)(自由電流であり、式(3)の\(I_{\text {f}}\)に相当する)が流れていると仮定する(電流の値が正なら\(\boldsymbol l\)の向きに、負なら\(-\boldsymbol l\)の向きに流れていることを表す)。また、電流\(I_2\)が流れる導線\(2\)が原点を通り、電流\(I_1\)が流れる導線\(1\)が\(\boldsymbol r\cdot\boldsymbol l=0\)を満たす位置\(\boldsymbol r\)を通るとき(つまり、\(\boldsymbol r\)は二つの導線それぞれに垂直である)、単位長さあたりの導線\(1\)が受ける力を磁場\(\boldsymbol H\)の定義と磁束密度\(\boldsymbol B\)の定義から求めてみる。

源場と力場の考え(以前のページを参照)を用いると、「①電流\( I_2\)が源場である磁場\(\boldsymbol H\)を作る」、｢②源場から力場が生じる｣、「③力場である磁束密度\(\boldsymbol B\)が電流\( I_1\)が流れる導線\(1\)に力を与える」という3ステップで力が働く。

ステップ①において、磁場\(\boldsymbol H\)の定義(以前のページを参照)から

\begin{align*}\int_C\boldsymbol H\cdot d\boldsymbol l=I_1\tag{3}\end{align*}

が成り立つ。ここで、閉曲面\(S\)として、導線\(2\)が通る原点が中心で位置\(\boldsymbol r\)を通る円を考える。電流から磁気力線は同心円状に出るため、閉曲面の縁上の位置\(\boldsymbol r’\)において磁場\(\boldsymbol H\)の向きと線素\(d\boldsymbol l\)の向き(微小距離\(dl\)の接線の向き)は同じであり、\(\boldsymbol l\)の向きと\(\boldsymbol r’\)の向きに垂直であるから磁場\(\boldsymbol H\)の向きは

\begin{align*}\frac{\boldsymbol l×\boldsymbol r’}{\vert \boldsymbol l×\boldsymbol r’\vert}&=\frac{\boldsymbol l×\boldsymbol r’}{\vert \boldsymbol l\vert\vert\boldsymbol r’\vert \sin90°}\\&=\frac{\boldsymbol l×\boldsymbol r’}{\vert \boldsymbol r’\vert}\end{align*}

途中式

2行目への変形では、\(\boldsymbol l\)が単位ベクトルであることを用いた。

となる。よって、

\begin{align*}\boldsymbol H\cdot d\boldsymbol l&=Hdl\cos0°\\&=Hdl\end{align*}

が成り立ち、位置\(\boldsymbol r\)での磁場の大きさ\(H\)は

\begin{align*}\int_C H\ d l=&I_1\\\rightarrow H\int_C d l=&I_1\\\rightarrow H=&\frac{I}{2\pi\vert\boldsymbol r\vert}\tag{6}\end{align*}

途中式

3行目への変形では、閉曲面の縁\(C\)の総長さ

\begin{align*}\int_C dl=2\pi\vert\boldsymbol r\vert\end{align*}

を用いた。

となる。よって、電流\( I_1\)が流れる導線\(1\)の位置\(\boldsymbol r\)における磁場\(\boldsymbol H\)は、式(6)に向き\(\frac{\boldsymbol l×\boldsymbol r}{\vert \boldsymbol r\vert}\)を掛けて

\begin{align*}\boldsymbol H=\frac{I_2}{2\pi}\frac{\boldsymbol l×\boldsymbol r}{\vert\boldsymbol r\vert^2}\tag{7}\end{align*}

と求められる。

ステップ②において、真空中での磁場\(\boldsymbol H\)と磁束密度\(\boldsymbol B\)の関係(以前のページを参照)は

\begin{align*}\boldsymbol B=\mu_0\boldsymbol H\tag{8}\end{align*}

であるため、電流\( I_1\)が流れる導線\(1\)の位置\(\boldsymbol r\)における磁束\(\boldsymbol B\)は

\begin{align*}\boldsymbol B=\frac{\mu_0I_2}{2\pi}\frac{\boldsymbol l×\boldsymbol r}{\vert \boldsymbol r\vert^2}\tag{9}\end{align*}

と求められる。

ステップ③において、電流が流れる単位長さの導線に働く力\(\boldsymbol F\)と磁束密度\(\boldsymbol B\)の関係(以前のページを参照)は

\begin{align*}\boldsymbol F=I_1\boldsymbol l×\boldsymbol B\tag{10}\end{align*}

であるため、電流\( I_1\)が流れる単位長さの導線\(1\)に働く力\(\boldsymbol F\)は

\begin{align*}\boldsymbol F&=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi}\frac{\boldsymbol l×(\boldsymbol l×\boldsymbol r)}{\vert \boldsymbol r\vert^2}\\&=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi}\frac{(\boldsymbol l\cdot\boldsymbol r)\boldsymbol l-(\boldsymbol l\cdot\boldsymbol l)\boldsymbol r}{\vert \boldsymbol r\vert^2}\\&=-\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi}\frac{\boldsymbol r}{\vert \boldsymbol r\vert^2}\tag{2}\end{align*}

途中式

式(2)において、2行目への変形ではベクトル三重積の公式

\begin{align*}\boldsymbol A×(\boldsymbol B×\boldsymbol C)=(\boldsymbol A\cdot\boldsymbol C)\boldsymbol B-(\boldsymbol A\cdot\boldsymbol B)\boldsymbol C\end{align*}

を用い、3行目への変形では次の関係

\begin{align*}\boldsymbol l\cdot\boldsymbol r&=0\\\boldsymbol l\cdot\boldsymbol l=0\end{align*}

を用いた。

となって、アンペールの法則が導かれる。

磁性体におけるアンペールの法則

前節のステップ②において、磁性体が存在するときの磁場\(\boldsymbol H\)と磁束密度\(\boldsymbol B\)の関係は

\begin{align*}\boldsymbol B=\mu\boldsymbol H\tag{11}\end{align*}

であるため、磁性体が存在するときのアンペールの法則は

\begin{align*}\boldsymbol F=-\frac{\mu I_1I_2}{2\pi}\frac{\boldsymbol r}{\vert \boldsymbol r\vert^2}\tag{12}\end{align*}

となる。

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次ページでは、磁気双極子モーメント\(\boldsymbol p_{\text m}\)が

\begin{align*}\boldsymbol p_{\text m}=q_{\text m}\boldsymbol d\end{align*}

であることをみて、磁気双極子のエネルギー\(U\)が

\begin{align*}U&=-\boldsymbol p_{\text m}\cdot\boldsymbol H\end{align*}

となり、磁気双極子がつくる磁場\(\boldsymbol H\)が

\begin{align*}\boldsymbol H&=\frac{1}{4\pi\mu_0\vert\boldsymbol r\vert^3}\left(-\boldsymbol p_{\text m}+\frac{3(\boldsymbol r\cdot\boldsymbol p_{\text m})\boldsymbol r}{\vert\boldsymbol r\vert^2}\right)\end{align*}

となることを求める。

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