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本ページでは、ラゲールの陪微分方程式
\begin{align*}x\frac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}L_{n}^{m}(x)+(m+1-x)\frac{\text{d}}{\text{d}x}L_{n}^{m}(x)+ (n-m)L_{n}^{m}( x)=0\end{align*}
において、\(n\)が\(0\)以上の整数\(\{l\in\mathbb{Z}\mid n≧0\}\)で\(m\)が\(0\)以上\(n\)以下の整数\(\{m\in\mathbb{Z}\mid n≧m≧0\}\)のときの解であるラゲール陪多項式
\begin{align*}L_{n}^{m}( x )=\dfrac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}L_{n}(x)=\sum ^{n-m }_{k=0}\frac{(-1)^{m+k}(n!)^{2}}{k!(m+k)!(n-m-k)!}x^{k}\end{align*}
を求める。
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前ページでは、ラゲール多項式\(L_{n}( x )\)の母関数表示
\begin{align*}EG(L_{n}( x );t)&=\frac{1}{1-t}e^{-\frac{xt}{1-t}}\tag{10}\end{align*}
と、ラゲール多項式を生成するロドリゲスの公式
\begin{align*}L_{n}(x)=e^{x}\frac{\text{d}^{n}}{\text{d}x^{n}}(x^{n}e^{-x})\end{align*}
を求めた。
内容
ラゲールの陪微分方程式とは
ラゲールの陪微分方程式とは二階の線形常微分方程式である
\begin{align*}x\frac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}L_{n}^{m}(x)+(m+1-x)\frac{\text{d}}{\text{d}x}L_{n}^{m}(x)+ (n-m)L_{n}^{m}( x)=0\tag{1}\end{align*}
のことを指し、ラゲールの微分方程式
\begin{align*}x\frac{d^{2}}{dx^{2}}L_{n}(x)+(1-x)\frac{{d}}{{d}x}L_{n}(x)+ nL_{n}( x)=0\tag{2}\end{align*}
に変数\(m\)が新たに加わっている。
ラゲールの陪微分方程式(1)の解をラゲール陪関数と言い、\(n\)が\(0\)以上の整数\(\{n\in\mathbb{Z}\mid n≧0\}\)で\(m\)が\(0\)以上\(n\)以下の整数\(\{m\in\mathbb{Z}\mid n≧m≧0\}\)のときのラゲールの陪微分方程式の解は
\begin{align*}L_{n}^{m}( x )=\dfrac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}L_{n}(x)=\sum ^{n-m }_{k=0}\frac{(-1)^{m+k}(n!)^{2}}{k!(m+k)!(n-m-k)!}x^{k}\tag{3}\end{align*}
となりラゲールの陪多項式と呼ばれている。ここで「陪」という漢字が頭についているが、陪には「つきそう、したがう、つきしたがう」という意味があり、陪微分方程式および陪多項式は元の微分方程式および多項式と関係があることからこのように呼ばれている。
ラゲールの陪多項式を求める際にラゲールの微分方程式とラゲールの多項式が必要になってくるので一度ここに書いておこう。
量子力学において「水素原子におけるシュレーディンガー方程式」を変数分離した際に現れる動径座標に関する微分方程式はラゲールの陪微分方程式であり、その解はラゲール陪多項式である。
ラゲール陪多項式の導出
\(\{n\in\mathbb{Z}\mid n≧0\}\)および\(\{m\in\mathbb{Z}\mid n≧m≧0\}\)のときのラゲールの陪微分方程式を解いてラゲール陪多項式を求める。
はじめに、\(n\)次のラゲール多項式\(L_{n}( x )\)が解となるラゲールの微分方程式
\begin{align*}x\frac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}L_{n}(x)+(1-x)\frac{\text{d}}{\text{d}x}L_{n}(x)+ nL_{n}( x)=0\tag{2}\end{align*}
を\(m\)階微分すると
\begin{align*}\dfrac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}\left[ x\dfrac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}L_{n}(x )\right]+\dfrac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}\left[ (1-x )\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}L_{n}( x )\right]+ \dfrac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}\left[ nL_{n}( x )\right]=0\tag{4}\end{align*}
となるためそれぞれの項を計算する。式(4)の左辺第1項を計算すると
\begin{align*}&\dfrac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}\left[ x\dfrac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}L_{n}(x )\right]\\&=\dfrac{\text{d}^{m-1}}{\text{d}x^{m-1}}\left[ \dfrac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}L_{n}(x )+x\dfrac{\text{d}^{3}}{\text{d}x^{3}}L_{n}( x )\right]\\&=\dfrac{\text{d}^{m-2}}{\text{d}x^{m-2}}\left[ \dfrac{\text{d}^{3}}{\text{d}^{3}x}L_{n}( x )+\dfrac{\text{d}^{3}}{\text{d}x^{3}}L_{n}( x )+x\dfrac{\text{d}^{4}}{\text{d}x^{4}}L_{n}( x )\right]\\&=\cdot\cdot\cdot\\&=m\dfrac{\text{d}^{m+1}}{\text{d}x^{m+1}}L_{n}( x )+x\dfrac{\text{d}^{m+2}}{\text{d}x^{m+2}}L_{n}( x )\tag{5}\end{align*}
と変形でき、式(4)の左辺第2項は
\begin{align*}&\dfrac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}\left[ (1-x )\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}L_{n} (x )\right]\\&=\dfrac{\text{d}^{m-1}}{\text{d}x^{m-1}}\left[ -\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}L_{n}( x )+(1-x )\dfrac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}L_{n}( x )\right]\\&=\dfrac{\text{d}^{m-2}}{\text{d}x^{m-2}}\left[ -\dfrac{\text{d}^{2}}{\text{d}^{2}x}L_{n}( x)-\dfrac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}L_{n}( x)+(1-x )\dfrac{\text{d}^{3}}{\text{d}x^{3}}L_{n}( x )\right]\\&=\cdot\cdot\cdot\\&=-m\dfrac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}L_{n}( x )+(1-x )\dfrac{\text{d}^{m+1}}{\text{d}x^{m+1}}L_{n}(x)\tag{6}\end{align*}
と変形できる。そして、式(5)と式(6)を式(4)に代入すると
\begin{align*}&\left[ m\dfrac{\text{d}^{m+1}}{\text{d}x^{m+1}}L_{n}( x )+x\dfrac{\text{d}^{m+2}}{\text{d}x^{m+2}}L_{n}( x )\right]\\&+\left[ -m\dfrac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}L_{n}( x )+(1-x )\dfrac{\text{d}^{m+1}}{\text{d}x^{m+1}}L_{n}(x)\right]\\&+ \left[ n\dfrac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}L_{n}( x )\right]=0\tag{7}\end{align*}
となり、整理すると
\begin{align*}&x\dfrac{\text{d}^{m+2}}{\text{d}x^{m+2}}L_{p}( x )+ (m+1-x )\dfrac{\text{d}^{m+1}}{\text{d}x^{m+1}}L_{n}( x ) +(n-m)\dfrac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}L_{n}( x ) =0\\&\rightarrow x\dfrac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}\left[\dfrac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}L_{n}( x )\right]+ (m+1-x )\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left[\dfrac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}L_{n}( x )\right] +(n-m)\left[\dfrac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}L_{n}( x )\right] =0\tag{8}\end{align*}
となる。ここで、式(8)とラゲールの陪微分方程式(1)を見比べると、ラゲール陪多項式は
\begin{align*}L_{n}^{m}( x )=\dfrac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}L_{n}(x)\tag{3}\end{align*}
であることがわかる。
次にラゲール陪多項式の具体的な形を求める。式(3)に前回導出したラゲール多項式
\begin{align*}L_{n}( x )=\sum ^{n }_{k=0}\frac{(-1)^{k}(n!)^{2}}{(k!)^{2}(n-k)!}x^{k}\tag{9}\end{align*}
を代入すると
\begin{align*}L_{n}^{m}( x )=\dfrac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}\sum ^{n}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(n!)^{2}}{(k!)^{2}(n-k)!}x^{k}\\&=\sum^{n }_{k=m}\frac{(-1)^{k}(n!)^{2}}{(k!)^{2}(n-k)!}\dfrac{k!}{(k-m)!}x^{k-m}\\&=\sum ^{n }_{k=m}\frac{(-1)^{k}(n!)^{2}}{k!(n-k)!(k-m)!}x^{k-m}\tag{10}\end{align*}
が得られる。和記号が\(k=0\)から\(k=m\)に置き換えたのは、\(k\)が\(m\)より小さいとき\(m\)階微分されると\(0\)になるからである。式(10)の和記号は\(k=m\)から\(k=n\)までであり、\(m\)は\(n\)以下の整数であるから、\(k=0\)から\(k=n-m\)に変換すると
\begin{align*}L_{n}^{m}( x )&=\sum ^{n-m }_{k=0}\frac{(-1)^{m+k}(n!)^{2}}{k!(m+k)!(n-m-k)!}x^{k}\tag{3}\end{align*}
となり、ラゲール陪多項式を求めることができた。
ラゲールの陪多項式の具体例
求めたラゲールの陪多項式(3)から具体的な形を求めてみると次のようになる。
\begin{align*}L_{n}^{m}( x )&=\sum ^{n-m }_{k=0}\frac{(-1)^{m+k}(n!)^{2}}{k!(m+k)!(n-m-k)!}x^{k}\tag{3}\\L_{0}^{0}( x )&=\sum ^{0-0 }_{k=0}\frac{(-1)^{0+k}(0!)^{2}}{k!(0+k)!(0-0-k)!}x^{k}=1\\L_{1}^{0}( x )&=\sum ^{1-0 }_{k=0}\frac{(-1)^{0+k}(1!)^{2}}{k!(0+k)!(1-0-k)!}x^{k}=-x+1\\L_{1}^{1}( x )&=\sum ^{1-1 }_{k=0}\frac{(-1)^{1+k}(n!)^{2}}{k!(1+k)!(1-1-k)!}x^{k}=-1\\L_{2}^{0}( x )&=\sum ^{2-0 }_{k=0}\frac{(-1)^{0+k}(2!)^{2}}{k!(0+k)!(2-0-k)!}x^{k}=x^{2}-4x+2\\L_{2}^{1}( x )&=\sum ^{2-1 }_{k=0}\frac{(-1)^{1+k}(2!)^{2}}{k!(1+k)!(2-1-k)!}x^{k}=2x-4\\L_{2}^{2}( x )&=\sum ^{2-2 }_{k=0}\frac{(-1)^{2+k}(2!)^{2}}{k!(2+k)!(2-2-k)!}x^{k}=2\\L_{3}^{0}( x )&=\sum ^{3-0 }_{k=0}\frac{(-1)^{0+k}(3!)^{2}}{k!(0+k)!(3-0-k)!}x^{k}=-x^{3}+9x^{2}-18x+6\\L_{3}^{1}( x )&=\sum ^{3-1 }_{k=0}\frac{(-1)^{1+k}(3!)^{2}}{k!(1+k)!(3-1-k)!}x^{k}=-3x^{2}+18x-18\\L_{3}^{2}( x )&=\sum ^{3-2 }_{k=0}\frac{(-1)^{2+k}(3!)^{2}}{k!(2+k)!(3-2-k)!}x^{k}=-6x+18\\L_{3}^{3}( x )&=\sum ^{3-3 }_{k=0}\frac{(-1)^{3+k}(3!)^{2}}{k!(3+k)!(3-3-k)!}x^{k}=-6\\L_{4}^{0}( x )&=\sum ^{4-0 }_{k=0}\frac{(-1)^{0+k}(4!)^{2}}{k!(0+k)!(4-0-k)!}x^{k}=x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24\\L_{4}^{1}( x )&=\sum ^{4-1 }_{k=0}\frac{(-1)^{1+k}(4!)^{2}}{k!(1+k)!(4-1-k)!}x^{k}=4x^{3}-48x^{2}+144x-96\\L_{4}^{2}( x )&=\sum ^{4-2 }_{k=0}\frac{(-1)^{2+k}(4!)^{2}}{k!(2+k)!(4-2-k)!}x^{k}=12x^{2}-96x+144\\L_{4}^{3}( x )&=\sum ^{4-3 }_{k=0}\frac{(-1)^{3+k}(4!)^{2}}{k!(3+k)!(4-3-k)!}x^{k}=24x-96\\L_{4}^{4}( x )&=\sum ^{4-4 }_{k=0}\frac{(-1)^{4+k}(4!)^{2}}{k!(4+k)!(4-4-k)!}x^{k}=24\end{align*}
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量子力学ではラゲール陪多項式の「直交関係」を使うことがあるため、次ページでは直交関係を見るために使用するラゲール陪多項式の母関数表示を求める。
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