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本ページでは、正準変数の定義を確認し、正準変数になるための条件式を求める。また、ある正準変数から別の正準変数への変換である正準変数について調べる。
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前ページでは、一般化座標\(q_i\)と一般化運動量\(p_i\)そして時間\(t\)の関数である物理量\(A\)を時間微分
\begin{align}\frac{\text{d}A}{\text{d}t}=\frac{\partial A}{\partial t}+\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right)\tag{1}\end{align}
すると、ポアソン括弧と呼ばれる対称性の高い構造が現れることを見た。
\begin{align}\left\{A,B\right\}=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial B}{\partial q_i}\right)\tag{2}\end{align}
また、ポアソン括弧を用いて物理量\(A\)の時間微分を表すと
\begin{align}\frac{\text{d}A}{\text{d}t}=\frac{\partial A}{\partial t}+\left\{A,H\right\}\tag{3}\end{align}
となり、物理量\(A\)が陽(直接的)に時間\(t\)に依存しない時、ポアソン括弧に等しくなることを確認した。
\begin{align}\frac{\text{d}A}{\text{d}t}=\left\{A,H\right\}\tag{4}\end{align}
内容
正準変数の定義
ハミルトンの正準方程式
\begin{align}\dot{A}&=-\frac{\partial }{\partial B}H(A,B,t)\tag{5}\\\dot{B}&=\frac{\partial }{\partial A}H(A,B,t)\tag{6}\end{align}
を満たす2つの変数\(A\)と\(B\)を正準変数という。
これまでは正準変数として一般化座標\(q_i\)と一般化運動量\(p_i\)のみを考えてきたが、一般化座標\(q_i\)と一般化運動量\(p_i\)で表された二つの変数
\begin{align}Q_j(q,p)&=Q_j(\cdots,q_i,\cdots,p_i,\cdots)\tag{7}\\P_j(q,p)&=P_j(\cdots,q_i,\cdots,p_i,\cdots)\tag{8}\end{align}
が正準変数になれるときがある。どのような条件のときに正準変数になれるかは、次節からみていく。
正準変数となる条件式
新たな変数\(Q_j\),\(P_j\)が正準変数となれるときの条件は、これらの変数でハミルトニアン\(H\)が次のように
\begin{align}H(Q,P,t)=H(\cdots,Q_j,\cdots,P_j,\cdots,t)\tag{9}\end{align}
と表すことができるとき、新たな変数\(Q_j\)および\(P_j\)においても次のハミルトンの正準方程式
\begin{align}\dot{P_j}&=-\frac{\partial H}{\partial Q_j}\tag{10}\\\dot{Q_j}&=\frac{\partial H}{\partial P_j}\tag{11}\end{align}
を満たすための条件と等価である。
はじめに、ポアソン括弧の式(4)を次のように変形してみる。
\begin{align}\frac{\text{d}A}{\text{d}t}&=\left\{A,H\right\}
\\&=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right)
\\&=\sum_{i=1}^n\left\{\frac{\partial A}{\partial q_i}\sum_{j=1}^n\left(\frac{\partial H}{\partial Q_j}\frac{\partial Q_j}{\partial p_i}+\frac{\partial H}{\partial P_j}\frac{\partial P_j}{\partial p_i}\right)
\\-\frac{\partial A}{\partial p_i}\sum_{j=1}^n\left(\frac{\partial H}{\partial Q_j}\frac{\partial Q_j}{\partial q_i}+\frac{\partial H}{\partial P_j}\frac{\partial P_j}{\partial q_i}\right)\right\}\\&=\sum_{j=1}^n\left\{\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial Q_j}{\partial p_i}-\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial Q_j}{\partial q_i}\right)\frac{\partial H}{\partial Q_j}\\+\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial P_j}{\partial p_i}+\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial P_j}{\partial q_i}\right)\frac{\partial H}{\partial P_j}\right\}\\&=\sum_{j=1}^n\left(\left\{A,Q_j\right\}\frac{\partial H}{\partial Q_j}+\left\{A,P_j\right\}\frac{\partial H}{\partial P_j}\right)\tag{12}\end{align}
※※※ここでは、物理量\(A\)は陽に時間\(t\)に依存しないものとする。また、3番目の等号では、ハミルトニアン\(H\)の変数が\(Q_j\)と\(P_j\)であることを用いた。※※※
次に、式(12)の\(A\)に\(Q_i\)または\(P_j\)を代入すると、
\begin{align}\frac{\text{d}Q_i}{\text{d}t}&
=\sum_{j=1}^n\left(\left\{Q_i,Q_j\right\}\frac{\partial H}{\partial Q_j}+\left\{Q_i,P_j\right\}\frac{\partial H}{\partial P_j}\right)\tag{13}\\\frac{\text{d}P_i}{\text{d}t}&
=\sum_{j=1}^n\left(\left\{P_i,Q_j\right\}\frac{\partial H}{\partial Q_j}+\left\{P_i,P_j\right\}\frac{\partial H}{\partial P_j}\right)\tag{14}\end{align}
となり、これらがハミルトンの正準方程式(10)と(11)となるためには、次の条件式
\begin{align*}\left\{Q_i,P_j\right\}&=\delta_{ij}\tag{15}\\\left\{Q_i,Q_j\right\}&=\left\{P_i,P_j\right\}=0\tag{16}\end{align*}
を満たせばよい。実際にこれらの条件式を式(13)と式(14)に代入すると
\begin{align}\frac{\text{d}Q_i}{\text{d}t}&
=\sum_{j=1}^n\left(\delta_{ij}\frac{\partial H}{\partial P_j}\right)\\&=\frac{\partial H}{\partial P_i}\tag{17}\\\frac{\text{d}P_i}{\text{d}t}&=\sum_{j=1}^n\left(-\delta_{ij}\frac{\partial H}{\partial Q_j}\right)\\&=-\frac{\partial H}{\partial Q_i}\tag{18}\end{align}
となり、ハミルトンの正準方程式となることが分かる。
正準変換
以前のページで、ラグランジュの運動方程式の不満点として、座標変換を拡張して「一般化座標\(q_{\scriptsize i}\)＋一般化速度\(\dot p_{\scriptsize i}\)」や「一般化座標\(q_{\scriptsize i}\)＋一般化運動量\(q_{\scriptsize i}\)」といった新しい変数を作ると運動方程式が複雑になると述べた。一方、今回の結果より、ハミルトンの正準方程式では、座標変換を拡張しても正準変数であればハミルトンの正準方程式は複雑にならないことが分かる。
ある正準変数を別の正準変数に写す変数変換を正準変換という。
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