【やさしい解析力学】ポアソン括弧

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本ページでは、一般化座標\(q_i\)と一般化運動量\(p_i\)そして時間\(t\)の関数である物理量を時間微分すると、ポアソン括弧\(\{\}\)と呼ばれる対称性の高い構造が現れることを見てみる。

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前ページでは、ラグランジアン\(L\)とハミルトニアン\(H\)の関係を、ルジャンドル変換を含む二通りの方法から求め、ハミルトンの正準方程式

\begin{align}\dot{p_i}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}\tag{1}\end{align}

\begin{align}\dot{q_i}=\frac{\partial H}{\partial p_i}\tag{2}\end{align}

を求めた。また、保存力を受けているハミルトニアン\(H\)のは全エネルギーの総和になることを確認した。

\begin{align}H=T+V\tag{3}\end{align}

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ポアソン括弧の定義

ある物理量\(A\)と\(B\)が、一般化座標\(q_i\)と一般化運動量\(p_i\)そして時間\(t\)の関数になっているとする。

\begin{align}&A(q,p,t)\tag{4}\\&B(q,p,t)\tag{5}\end{align}

一般化座標\(q_i\)や一般化運動量\(p_i\)も時間\(t\)の関数になっていること考慮して、物理量\(A\)を時間\(t\)で微分すると

\begin{align}\frac{\text{d}A}{\text{d}t}&=\frac{\partial A}{\partial t}+\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\text{d} q_i}{\text{d}t}+\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\text{d} p_i}{\text{d}t}\right)\\&=\frac{\partial A}{\partial t}+\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\dot{q_i}+\frac{\partial A}{\partial p_i}\dot{p_i}\right)\tag{6}\end{align}

となる。ここに、ハミルトンの正準方程式

\begin{align}\dot{p_i}&=-\frac{\partial H}{\partial q_i}\tag{1}\\\dot{q_i}&=\frac{\partial H}{\partial p_i}\tag{2}\end{align}

を代入すると

\begin{align}\frac{\text{d}A}{\text{d}t}=\frac{\partial A}{\partial t}+\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right)\tag{7}\end{align}

となる。ここでかなり対称な部分が現れるが、次のような定義のポアソン括弧を導入しよう。

\begin{align}\left\{A,B\right\}=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial B}{\partial q_i}\right)\tag{8}\end{align}

ポアソン括弧を用いて物理量\(A\)の時間微分を表すと

\begin{align}\frac{\text{d}A}{\text{d}t}=\frac{\partial A}{\partial t}+\left\{A,H\right\}\tag{9}\end{align}

となり、物理量\(A\)が陽(直接的)に時間\(t\)に依存しない時、ポアソン括弧に等しくなる。

\begin{align}\frac{\text{d}A}{\text{d}t}=\left\{A,H\right\}\tag{10}\end{align}

ポアソン括弧を用いた正準方程式

式(10)の物理量\(A\)として、一般化座標\(q_j\)や一般化運動量\(p_j\)のときを考えると

\begin{align}\dot{q_j}&=\left\{q_j,H\right\}\tag{11}\\\dot{p_j}&=\left\{p_j,H\right\}\tag{12}\end{align}

となり、ハミルトンの正準方程式そのものになる。

代表的な関係式

ポアソン括弧でよく使う関係は次の三つである。

\begin{align}\left\{q_j,p_k\right\}=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial q_j}{\partial q_i}\frac{\partial p_k}{\partial p_i}-\frac{\partial q_j}{\partial p_i}\frac{\partial p_k}{\partial q_i}\right)=\frac{\partial q_j}{\partial q_i}\frac{\partial p_k}{\partial p_i}=\delta_{jk}\tag{13}\end{align}

\begin{align}\left\{q_j,q_k\right\}=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial q_j}{\partial q_i}\frac{\partial q_k}{\partial p_i}-\frac{\partial q_j}{\partial p_i}\frac{\partial q_k}{\partial q_i}\right)=0\tag{14}\end{align}

\begin{align}\left\{p_j,p_k\right\}=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial p_j}{\partial q_i}\frac{\partial p_k}{\partial p_i}-\frac{\partial p_j}{\partial p_i}\frac{\partial p_k}{\partial q_i}\right)=0\tag{15}\end{align}