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本ページでは、荷電粒子が従うディラック方程式
\begin{align*}\left\{\frac{i}{c}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)+i\boldsymbol\alpha\cdot\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)-\frac{mc}{\hbar} \boldsymbol\gamma^0\right\}\boldsymbol\psi=0\end{align*}
を導出し、この方程式がゲージ不変性を持つことを見る。
また、相対論的な荷電粒子におけるハミルトニアン
\begin{align*}H=\pm c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\end{align*}
を求める。
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前ページでは、静止系におけるディラック方程式
\begin{align*}\left(\frac{i}{c}\boldsymbol\gamma^0\frac{\partial}{\partial t}-\frac{mc}{\hbar} \right)\boldsymbol\psi=0\end{align*}
を解き、正のエネルギー解\(E=mc^2\)に対応する2つの独立解
\begin{align*}\boldsymbol\psi^0=e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\\
0\\
\end{pmatrix}\\\boldsymbol\psi^1=e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0\\
0\\
\end{pmatrix}\end{align*}
と、負のエネルギー解\(E=-mc^2\)に対応する2つの独立解
\begin{align*}\boldsymbol\psi^2=e^{-\frac{i}{\hbar}(-mc^2)t}\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1\\
0\\
\end{pmatrix}\\\boldsymbol\psi^3=e^{-\frac{i}{\hbar}(-mc^2)t}\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}\end{align*}
が得られることを確認した。
内容
荷電粒子のディラック方程式
シュレーディンガー方程式やクライン-ゴルドン方程式において、次の変換
\begin{align*}\frac{\partial}{\partial t}&\rightarrow\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\tag{1}\\\boldsymbol \nabla&\rightarrow\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\tag{2}\end{align*}
を施せばゲージ変換の下でゲージ不変性を持つ荷電粒子のシュレーディンガー方程式(以前のページ参照)や荷電粒子のクライン-ゴルドン方程式(以前のページ参照)が得られた。ディラック方程式
\begin{align*}\left(i\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\boldsymbol\psi=0\tag{3}\end{align*}
においても同様の変換を施すとゲージ変換の下でゲージ不変性を持つ荷電粒子のディラック方程式が得られる。まず、式(3)の左からガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^0\)を掛けると
\begin{align*}\left(i\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \boldsymbol\gamma^0\right)\boldsymbol\psi&=0\\\rightarrow\Big(\frac{i}{c}\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^0\frac{\partial}{\partial t}+i\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^1\frac{\partial}{\partial x}+i\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^2\frac{\partial}{\partial y}+&i\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^3\frac{\partial}{\partial z}-\frac{mc}{\hbar} \boldsymbol\gamma^0\Big)\boldsymbol\psi=0\tag{4}\end{align*}
となり、次の置き換え
\begin{align*}\boldsymbol\alpha=(\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^1,\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^2,\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^3)\tag{5}\end{align*}
と次の変換
\begin{align*}\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^0=\boldsymbol I_4\tag{6}\end{align*}
を行なうとディラック方程式は
\begin{align*}\left(\frac{i}{c}\frac{\partial}{\partial t}+i\boldsymbol\alpha\cdot\boldsymbol\nabla-\frac{mc}{\hbar} \boldsymbol\gamma^0\right)\boldsymbol\psi=0\tag{7}\end{align*}
となる。そして、式(1),(2)の変換を行なうと、荷電粒子のディラック方程式
\begin{align*}\left\{\frac{i}{c}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)+i\boldsymbol\alpha\cdot\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)-\frac{mc}{\hbar} \boldsymbol\gamma^0\right\}\boldsymbol\psi=0\tag{8}\end{align*}
が得られる。ここで注意だが、\(\boldsymbol\alpha\)はベクトルであるが、各成分は行列であることに注意する。
ディラック方程式のゲージ不変性
荷電粒子のディラック方程式(8)がゲージ不変性を持つことを確かめる。
荷電粒子のディラック方程式(8)に次のゲージ変換(\(f\)は任意の関数)
\begin{align*}A^0&\rightarrow A'{}^0= A^0-\frac{\partial f}{\partial t}\tag{9}\\\boldsymbol A&\rightarrow\boldsymbol A’= \boldsymbol A +\boldsymbol\nabla f\tag{10}\\\boldsymbol\psi&\rightarrow\boldsymbol\psi’=e^{\frac{iq}{\hbar}f}\boldsymbol\psi\tag{11}\end{align*}
を行ない得られた荷電粒子のディラック方程式
\begin{align*}\left\{\frac{i}{c}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA’^0}{\hbar}\right)+i\boldsymbol\alpha\cdot\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A’}{\hbar}\right)-\frac{mc}{\hbar} \boldsymbol\gamma^0\right\}\boldsymbol\psi’=0\tag{12}\end{align*}
も変形を繰り返すと元のディラック方程式
\begin{align*}&\left\{\frac{i}{c}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA’^0}{\hbar}\right)+i\boldsymbol\alpha\cdot\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A’}{\hbar}\right)-\frac{mc}{\hbar} \boldsymbol\gamma^0\right\}\boldsymbol\psi=0\\\rightarrow&\left\{\frac{i}{c}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}-\frac{iq}{\hbar}\frac{\partial f}{\partial t}\right)+i\boldsymbol\alpha\cdot\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}-\frac{iq}{\hbar}\boldsymbol\nabla f\right)-\frac{mc}{\hbar} \boldsymbol\gamma^0\right\}e^{\frac{iq}{\hbar}f}\boldsymbol\psi=0\\\rightarrow &e^{\frac{iq}{\hbar}f}\left\{\frac{i}{c}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)+i\boldsymbol\alpha\cdot\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)-\frac{mc}{\hbar} \boldsymbol\gamma^0\right\}\boldsymbol\psi=0\\\rightarrow&\left\{\frac{i}{c}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)+i\boldsymbol\alpha\cdot\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)-\frac{mc}{\hbar} \boldsymbol\gamma^0\right\}\boldsymbol\psi=0\tag{13}\end{align*}
となることから、荷電粒子のディラック方程式(8)はゲージ不変性を持つことが分かる。
以上より、式(1),(2)の変換をディラック方程式(3)に施せばゲージ不変性を持つディラック方程式(8)が得られる。
1点注意だが、荷電粒子のディラック方程式(8)がゲージ変換されると式の形は変わらないが、波動関数\(\boldsymbol\psi’\)には位相因子\(e^{\frac{iq}{\hbar}f}\)が掛けられており、波動関数\(\boldsymbol\psi’\)の位相が\(\frac{q}{\hbar}f\)だけズレている。
相対論的な荷電粒子におけるハミルトニアン
相対論的な荷電粒子におけるハミルトニアン\(H\)を求める。荷電粒子のディラック方程式
\begin{align*}\left\{\frac{i}{c}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)+i\boldsymbol\alpha\cdot\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)-\frac{mc}{\hbar} \boldsymbol\gamma^0\right\}\boldsymbol\psi=0\tag{8}\end{align*}
の全体に\(\hbar c\)を掛けると
\begin{align*}\left\{\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}-qA^0\right)-c\boldsymbol\alpha\cdot\left(-i\hbar\boldsymbol\nabla-q\boldsymbol A\right)-mc^2\boldsymbol\gamma^0\right\}\boldsymbol\psi=0\tag{14}\end{align*}
となり、エネルギー演算子\(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\)と運動量演算子\(-i\hbar\boldsymbol \nabla\)をエネルギー\(E\)(ハミルトニアン\(H\))と運動量\(\boldsymbol p\)に置き換え
\begin{align*}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}&\rightarrow E=H\tag{15}\\-i\hbar\boldsymbol \nabla&\rightarrow \boldsymbol p\tag{16}\end{align*}
を行なって波動関数\(\boldsymbol\psi\)を無視すると
\begin{align*}\left(H-qA^0\right)\boldsymbol I_4-c\boldsymbol\alpha\cdot\left(\boldsymbol p-q\boldsymbol A\right)-mc^2\boldsymbol\gamma^0=0\tag{17}\end{align*}
となる。
この式(17)には、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)が含まれており式全体が複雑であるため、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)を全て単位行列\(\boldsymbol I_4\)に変換してみる。まず、ベクトル\(\boldsymbol\alpha\)の定義
\begin{align*}\boldsymbol\alpha=(\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^1,\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^2,\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^3)\tag{5}\end{align*}
とガンマ行列の性質
\begin{align*}\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^0=\boldsymbol I_4\tag{6}\end{align*}
より、式(17)の左からガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^0\)を掛けると
\begin{align*}\left(H-qA^0\right)\boldsymbol\gamma^0 -c\boldsymbol\alpha’\cdot\left(\boldsymbol p-q\boldsymbol A\right)-mc^2\boldsymbol I_4=0\tag{18}\end{align*}
となる(ここで、\(\boldsymbol\alpha’=(\boldsymbol\gamma^1,\boldsymbol\gamma^2,\boldsymbol\gamma^3)\)と置いた)。次に、カイラリティー\(\boldsymbol\gamma^5\)と呼ばれる量(後のページを参照)
\begin{align*}\boldsymbol\gamma^5=i\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^1\boldsymbol\gamma^2\boldsymbol\gamma^3\tag{19}\end{align*}
を式(18)の左から掛けると
\begin{align*}\left(H-qA^0\right)\boldsymbol \gamma^5\boldsymbol\gamma^0-c\boldsymbol\gamma^5\boldsymbol\alpha’\cdot\left(\boldsymbol p-q\boldsymbol A\right)-mc^2\boldsymbol\gamma^5=0\tag{20}\end{align*}
となり、カイラリティー\(\boldsymbol\gamma^5\)の性質
\begin{align*}\boldsymbol\gamma^5\boldsymbol\gamma^\mu=-\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol\gamma^5\tag{21}\end{align*}
を用いると、カイラリティー\(\boldsymbol\gamma^5\)を1番右に移動させることができる。
\begin{align*}-\left(H-qA^0\right)\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol \gamma^5+c\boldsymbol\alpha’\boldsymbol\gamma^5\cdot\left(\boldsymbol p-q\boldsymbol A\right)-mc^2\boldsymbol\gamma^5=0\tag{22}\end{align*}
カイラリティー\(\boldsymbol\gamma^5\)を無視して全体にマイナスを掛けると式(22)は
\begin{align*}\left(H-qA^0\right)\boldsymbol \gamma^0-c\boldsymbol\alpha’\cdot\left(\boldsymbol p-q\boldsymbol A\right)+mc^2\boldsymbol I_4=0\tag{23}\end{align*}
となる。最後に式(18)に式(23)を掛けると
\begin{align*}\left\{\left(H-qA^0\right)\boldsymbol \gamma^0-c\boldsymbol\alpha’\cdot\left(\boldsymbol p-q\boldsymbol A\right)\right\}^2+(mc^2\boldsymbol I_4)^2=0\tag{24}\end{align*}
となり、ガンマ行列の反交換関係
\begin{align*}(\boldsymbol\gamma^\mu)^2&=\eta^{\mu\mu}\boldsymbol I_4\tag{25}\\\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol\gamma^\nu+\boldsymbol\gamma^\nu\boldsymbol\gamma^\mu&=0\ \ \ (\mu\neq\nu)\tag{26}\end{align*}
を用いると、
\begin{align*}\left(H-qA^0\right)^2\boldsymbol I_4-c^2\left(\boldsymbol p-q\boldsymbol A\right)^2\boldsymbol I_4-m^2c^4\boldsymbol I_4=0\tag{27}\end{align*}
となって、すべての項の行列は単位行列\(\boldsymbol I_4\)となる。そして、単位行列\(\boldsymbol I_4\)を無視すると
\begin{align*}\left(H-qA^0\right)^2-c^2\left(\boldsymbol p-q\boldsymbol A\right)^2-m^2c^4=0\tag{28}\end{align*}
となり、ハミルトニアン\(H\)について解くと
\begin{align*}H=\pm c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\tag{29}\end{align*}
となる。この形は、以前、クライン-ゴルドン方程式から求めた時の形と同じであり、ハミルトニアン\(H\)とエネルギー\(E\)は等しいため、エネルギー\(E\)についても次の式となる。
\begin{align*}E=\pm c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\tag{30}\end{align*}
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