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本ページでは、複素場の理論におけるクライン-ゴルドン方程式
\begin{align}\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\varPhi&=0\\\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\varPhi^*&=0\end{align}
を導出する作用積分\(S\)
\begin{align}S&=\int d^4x\ \left(\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi\right)\end{align}
を求め、作用積分\(S\)が相対論的不変性と\(Z_2\)不変性、位相変換不変性を持つことを確かめる。
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前ページでは、複素場の理論におけるクライン-ゴルドン方程式
\begin{align}\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\varPhi&=0\\\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\varPhi^*&=0\end{align}
を導出するラグランジアン密度\(\mathscr{L}\)
\begin{align}\mathscr{L}=\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi\end{align}
を求め、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)が相対論的不変性と\(Z_2\)不変性、位相変換不変性を持つことを確かめた。
内容
複素スカラー場の作用積分
複素場の理論において、クライン-ゴルドン方程式
\begin{align}(\partial_\mu\partial^\mu+m^2)\varPhi=0\tag{1}\\(\partial_\mu\partial^\mu+m^2)\varPhi^*=0\tag{2}\end{align}
を導出するラグランジアン密度\(\mathscr{L}\)は
\begin{align}\mathscr{L}=\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi\tag{3}\end{align}
であるため、作用積分\(S\)は
\begin{align}S&=\int d^4x\ \mathscr{L}\\&=\int d^4x\ \left(\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi\right)\tag{4}\end{align}
となる。
相互作用する複素スカラー場の作用積分
相互作用する複素スカラー場\(\varPhi\),\(\varPhi^*\)が満たすクライン-ゴルドン方程式
\begin{align}\partial_\mu\partial^\mu\varPhi+m^2\varPhi+\frac{\lambda}{2}(\varPhi^*\varPhi)\varPhi=0\tag{5}\\\partial_\mu\partial^\mu\varPhi^*+m^2\varPhi^*+\frac{\lambda}{2}(\varPhi^*\varPhi)\varPhi^*=0\tag{6}\end{align}
を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)は
\begin{align}\mathscr{L}=\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi-\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\tag{7}\end{align}
であるため、相互作用する複素スカラー場\(\varPhi\),\(\varPhi^*\)の作用積分は
\begin{align}S&=\int d^4x\ \mathscr{L}\\&=\int d^4x\ \left(\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi-\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\right)\tag{8}\end{align}
となる。
作用積分の相対論的不変性
複素スカラー場の作用積分\(S\)が相対論的不変性を持つことを確認する。
複素スカラー場の作用積分\(S\)
\begin{align}S&=\int d^4x\ \mathscr{L}\\&=\int d^4x\ \left(\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi-\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\right)\tag{8}\end{align}
において、ローレンツ変換によって複素スカラー場\(\varPhi\),\(\varPhi^*\)と微小時空体積\(d^4x\)、ダランベルシアン\(\partial_\mu\partial^\mu\)が次のように変換
\begin{align*}\varPhi&\rightarrow\varPhi’\\\varPhi^*&\rightarrow\varPhi’^*\\d^4x&\rightarrow d^4x’\\\partial_\mu\partial^\mu&\rightarrow\partial’_\mu\partial’^\mu\end{align*}
する際、作用積分\(S’\)は
\begin{align}S’&=\int d^4x’\ \left(\partial’_\mu\varPhi’^*\partial’^\mu\varPhi’-m^2\varPhi’^*\varPhi’-\frac{\lambda}{4}(\varPhi’^*\varPhi’)^2\right)\tag{9}\end{align}
となる。また、複素スカラー場\(\varPhi\),\(\varPhi^*\)や微小時空体積\(d^4x\)、ダランベルシアン\(\partial_\mu\partial^\mu\)は全てスカラーなためローレンツ変換によって変化しない
\begin{align*}\varPhi’&=\varPhi\\\varPhi’^*&=\varPhi^*\\d^4x’&=d^4x\\\partial’_\mu\partial’^\mu&=\partial_\mu\partial^\mu\end{align*}
ため、作用積分\(S’\)
\begin{align}S’&=\int d^4x’\ \left(\partial’_\mu\varPhi’^*\partial’^\mu\varPhi’-m^2\varPhi’^*\varPhi’-\frac{\lambda}{4}(\varPhi’^*\varPhi’)^2\right)\\&=\int d^4x\ \left(\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi-\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\right)\\&=S\tag{10}\end{align}
はローレンツ変換前の作用積分\(S\)と等しくなり、複素スカラー場の作用積分\(S\)は相対論的不変性を持つことが分かる。
クライン-ゴルドン方程式は作用原理によって作用積分\(S\)から導かれるため、作用積分\(S\)がもつ相対論的不変性はクライン-ゴルドン方程式に受け継がれる。
作用積分の\(Z_2\)不変性
複素スカラー場の作用積分\(S\)が\(Z_2\)不変性も持つことを確認する。
複素スカラー場の作用積分\(S\)
\begin{align}S&=\int d^4x\ \mathscr{L}\\&=\int d^4x\ \left(\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi-\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\right)\tag{8}\end{align}
において、\(Z_2\)変換によって複素スカラー場\(\varPhi\),\(\varPhi^*\)が次のように変換
\begin{align*}\varPhi&\rightarrow\varPhi’=-\varPhi\\\varPhi^*&\rightarrow\varPhi’^*=-\varPhi^*\end{align*}
する際、作用積分\(S’\)は
\begin{align}S’&=\int d^4x\ \left(\partial_\mu\varPhi’^*\partial^\mu\varPhi’-m^2\varPhi’^*\varPhi’-\frac{\lambda}{4}(\varPhi’^*\varPhi’)^2\right)\\&=\int d^4x\ \left(\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi-\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\right)\\&=S\tag{11}\end{align}
と\(Z_2\)変換前の作用積分\(S\)と等しくなり、複素スカラー場の作用積分\(S\)は\(Z_2\)不変性を持つことが分かる。
クライン-ゴルドン方程式は作用原理によって作用積分\(S\)から導かれるため、作用積分\(S\)がもつ\(Z_2\)不変性はクライン-ゴルドン方程式に受け継がれる。
作用積分の位相変換不変性
複素スカラー場の作用積分\(S\)が位相変換不変性も持つことを確認する。
複素スカラー場の作用積分\(S\)
\begin{align}S&=\int d^4x\ \mathscr{L}\\&=\int d^4x\ \left(\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi-\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\right)\tag{8}\end{align}
において、位相変換によって複素スカラー場\(\varPhi\),\(\varPhi^*\)が次のように変換
\begin{align*}\varPhi\rightarrow\varPhi’=e^{-i\theta}\varPhi\\\varPhi^*\rightarrow\varPhi’^*=e^{i\theta}\varPhi^*\end{align*}
する際、変換後の作用積分\(S’\)は
\begin{align}S’&=\int d^4x\ \left(\partial_\mu\varPhi’^*\partial^\mu\varPhi’-m^2\varPhi’^*\varPhi’-\frac{\lambda}{4}(\varPhi’^*\varPhi’)^2\right)\\&=\int d^4x\ \left(\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi-\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\right)\\&=S\tag{12}\end{align}
と位相変換前の作用積分\(S\)と等しくなり、複素スカラー場の作用積分\(S\)は位相変換不変性を持つことが分かる。
クライン-ゴルドン方程式は作用原理によって作用積分\(S\)から導かれるため、作用積分\(S\)がもつ位相変換不変性はクライン-ゴルドン方程式に受け継がれる。
次ページから…
次ページでは、複素スカラー場の正準共役運動量\(\varPi\),\(\varPi^*\)
\begin{align}\varPi&=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0\varPhi}=\partial^0\varPhi\\\varPi^*&=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0\varPhi^*}=\partial^0\varPhi^*\end{align}
を求め、ルジャンドル変換
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ ((\partial^0\varPhi)\varPi+(\partial^0\varPhi^*)\varPi^*-\mathscr L)\end{align*}
によって複素スカラー場のハミルトニアン
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\varPi^*\varPi+(\nabla\varPhi^*)\nabla\varPhi+m^2\varPhi^*\varPhi+\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\right)\end{align*}
を求める。
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