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本ページでは…
本ページでは、複素スカラー場が
\begin{align}\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\\\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a_-(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\end{align}
と表され、生成消滅演算子\(\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol k)\),\(\hat a_\pm(\boldsymbol k)\)から構成されることをみる。
前ページまで…
前ページでは、クライン-ゴルドン方程式を導く複素場のハミルトニアン\(H\)
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\varPi^*\varPi+(\nabla\varPhi^*)\nabla\varPhi+m^2\varPhi^*\varPhi+\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\right)\end{align*}
を第2量子化することによって、演算子となったハミルトニアン\(\hat H\)
\begin{align*}\hat H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\hat \varPi^\dagger\hat\varPi+(\nabla\hat\varPhi^\dagger)\nabla\hat\varPhi+m^2\hat\varPhi^\dagger\hat\varPhi+\frac{\lambda}{4}(\hat\varPhi^\dagger\hat\varPhi)^2\right)\end{align*}
を求めた。
内容
フーリエ積分表示
どのような関数も完全系を成す関数群の足し合わせで表すことができるため、任意の関数\(\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x})\)は完全系を成す\(e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}\)を足し合わせて次のように表すことができる。
\begin{align*}\hat\varPhi(t,\boldsymbol x)=\int d^3\boldsymbol k\ \hat a(t,\boldsymbol k)e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}\tag{1}\end{align*}
これはまさにフーリエ積分表示であり、\(\hat a(t,\boldsymbol k)\)はフーリエ係数である。ここで、積分変数にはどのような変数を用いてもよいが、後での議論をしやすくするために今回は積分変数に運動量\(\boldsymbol k\)を用いている。
実スカラー場の生成消滅演算子表示
上記の関数\(\hat\varPhi(t,\boldsymbol x)\)がもし複素スカラー場であるのならクライン-ゴルドン方程式
\begin{align*}(\partial_\mu\partial^\mu+m^2)\hat\varPhi(t,\boldsymbol x)&=0\tag{2}\end{align*}
を満たすため、実際にクライン-ゴルドン方程式に代入すると、フーリエ係数\(\hat a(t,\boldsymbol k)\)は次の微分方程式
\begin{align}\frac{\partial^2 \hat a(t,\boldsymbol{k})}{\partial t^2}+(\boldsymbol{k}^2+m^2)\hat a(t,\boldsymbol{k})&=0\tag{3}\end{align}
を満たすことが分かる。この式の独立解は
\begin{align}e^{\pm i\sqrt{\boldsymbol{k}^2+m^2}t}=e^{\pm iE_\boldsymbol{k}t}\end{align}
であるから、一般解は
\begin{align}\hat a(t,\boldsymbol{k})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})e^{-iE_\boldsymbol{k}t}+\hat a_-^\dagger(-\boldsymbol{k})e^{ iE_\boldsymbol{k}t}\right\}\tag{4}\end{align}
と表すことができ、このフーリエ係数の式(4)を式(1)に代入すると
\begin{align}\hat\varPhi(x)&=\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})e^{-i(E_\boldsymbol{k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}+\hat a_-^\dagger(-\boldsymbol{k})e^{ i(E_\boldsymbol{k}t+\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}\right\}\\&=\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})e^{-i(E_\boldsymbol{k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})e^{ i(E_\boldsymbol{k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}\right\}\tag{5}\end{align}
となる。ここで、\(\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\)は規格化定数(以前のページを参照)であり、積分変数は自由に選べるため式(5)において2行目への変形では2項目の積分変数を\(\boldsymbol k\)から\(-\boldsymbol k\)に置き換えた。複素スカラー場\(\varPhi\)のエルミート共役は
\begin{align}\hat\varPhi^\dagger(x)&=\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\left\{\hat a_-(\boldsymbol{k})e^{-i(E_\boldsymbol{k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})e^{ i(E_\boldsymbol{k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}\right\}\tag{6}\end{align}
であるため、実スカラー場のときと異なり、式(5),(6)における係数\(\hat a_+(\boldsymbol{k})\)と\(\hat a_-(\boldsymbol{k})\)は異なるものである。まだ、\(\hat a_\pm(\boldsymbol{k})\)と\(\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol{k})\)は単なる係数と思ってもらってよいが、あとからこれらの係数が生成消滅演算子であることが判明する。次のような関数
\begin{align*}f_k^-&=\frac{e^{i(E_\boldsymbol{k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\\&=(f_k^+)^*\tag{7}\\f_k^+&=\frac{e^{- i(E_\boldsymbol{k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\\&=(f_k^-)^*\tag{8}\end{align*}
を定義すると、複素スカラー場は
\begin{align}\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\tag{9}\\\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a_-(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\tag{10}\end{align}
とシンプルに表現できる。
以前のページでエネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)は時空並進の生成子であり、複素スカラー場の演算子との交換関係が
\begin{align}[\hat P^\mu,\hat \varPhi(x)]&=-i \partial^\mu\hat\varPhi(x)\tag{11}\end{align}
となることを見た。式(11)のエルミート共役をとると
\begin{align}[\hat P^\mu,\hat \varPhi^\dagger(x)]&=-i \partial^\mu\hat\varPhi^\dagger(x)\tag{12}\end{align}
となり、これらの関係式に複素スカラー場の式(9),(10)を代入すると次の関係式
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{[\hat P^\mu,\hat a_+(\boldsymbol{k})]f_k^{+}+[\hat P^\mu,\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})]f_k^{-}\right\}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{-k^\mu \hat a_+(\boldsymbol{k})f_k^{+}+k^\mu \hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\tag{13}\\\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{[\hat P^\mu,\hat a_-(\boldsymbol{k})]f_k^{+}+[\hat P^\mu,\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})]f_k^{-}\right\}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{-k^\mu \hat a_-(\boldsymbol{k})f_k^{+}+k^\mu \hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\tag{14}\end{align}
\begin{align}[\hat P^\mu,\hat \varPhi(x)]&=-i \partial^\mu\hat\varPhi(x)\\\rightarrow\left[\hat P^\mu,\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\right]&=-i \partial^\mu\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\\\rightarrow\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{[\hat P^\mu,\hat a_+(\boldsymbol{k})]f_k^{+}+[\hat P^\mu,\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})]f_k^{-}\right\}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{-k^\mu \hat a_+(\boldsymbol{k})f_k^{+}+k^\mu \hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\end{align}
\begin{align}[\hat P^\mu,\hat \varPhi^\dagger(x)]&=-i \partial^\mu\hat\varPhi^\dagger(x)\\\rightarrow\left[\hat P^\mu,\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a_-(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\right]&=-i \partial^\mu\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a_-(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\\\rightarrow\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{[\hat P^\mu,\hat a_-(\boldsymbol{k})]f_k^{+}+[\hat P^\mu,\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})]f_k^{-}\right\}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{-k^\mu \hat a_-(\boldsymbol{k})f_k^{+}+k^\mu \hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\end{align}
が得られ、関数\(f_k^{-}\)と\(f_k^{+}\)がクライン-ゴルドン方程式を満たすことを考慮し、両辺を関数\(f_{k’}^{-}\)または\(f_{k’}^{+}\)と直交させると
\begin{align*}[\hat P^\mu,\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})]&=k^\mu \hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\tag{15}\\ [\hat P^\mu,\hat a_+(\boldsymbol{k})]&=-k^\mu \hat a_+(\boldsymbol{k})\tag{16}\end{align*}
\begin{align*}[\hat P^\mu,\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})]&=k^\mu \hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\tag{17}\\ [\hat P^\mu,\hat a_-(\boldsymbol{k})]&=-k^\mu \hat a_-(\boldsymbol{k})\tag{18}\end{align*}
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{[\hat P^\mu,\hat a_+(\boldsymbol{k})]\left(f_k^{+}\vert f_{k’}^{-}\right)+[\hat P^\mu,\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})]\left(f_k^{-}\vert f_{k’}^{-}\right)\right\}&=\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\left\{-k^\mu \hat a_+(\boldsymbol{k})\left(f_k^{+}\vert f_{k’}^{-}\right)+k^\mu \hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\left(f_k^{-}\vert f_{k’}^{-}\right)\right\}\\\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ [\hat P^\mu,\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})]\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)&=\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\ k^\mu \hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\\ [\hat P^\mu,\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})]&=k’^\mu \hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})\end{align}
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{[\hat P^\mu,\hat a_+(\boldsymbol{k})]\left(f_k^{+}\vert f_{k’}^{+}\right)+[\hat P^\mu,\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})]\left(f_k^{-}\vert f_{k’}^{+}\right)\right\}&=\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\left\{-k^\mu \hat a_+(\boldsymbol{k})\left(f_k^{+}\vert f_{k’}^{+}\right)+k^\mu \hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\left(f_k^{-}\vert f_{k’}^{+}\right)\right\}\\\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ [\hat P^\mu,\hat a_+(\boldsymbol{k})]\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)&=-\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\ k^\mu \hat a_+(\boldsymbol{k})\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\\ [\hat P^\mu,\hat a_+(\boldsymbol{k’})]&=-k’^\mu \hat a_+(\boldsymbol{k’})\end{align}
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{[\hat P^\mu,\hat a_-(\boldsymbol{k})]\left(f_k^{+}\vert f_{k’}^{-}\right)+[\hat P^\mu,\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})]\left(f_k^{-}\vert f_{k’}^{-}\right)\right\}&=\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\left\{-k^\mu \hat a_-(\boldsymbol{k})\left(f_k^{+}\vert f_{k’}^{-}\right)+k^\mu \hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\left(f_k^{-}\vert f_{k’}^{-}\right)\right\}\\\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ [\hat P^\mu,\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})]\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)&=\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\ k^\mu \hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\\ [\hat P^\mu,\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})]&=k’^\mu \hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})\end{align}
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{[\hat P^\mu,\hat a_-(\boldsymbol{k})]\left(f_k^{+}\vert f_{k’}^{+}\right)+[\hat P^\mu,\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})]\left(f_k^{-}\vert f_{k’}^{+}\right)\right\}&=\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\left\{-k^\mu \hat a_-(\boldsymbol{k})\left(f_k^{+}\vert f_{k’}^{+}\right)+k^\mu \hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\left(f_k^{-}\vert f_{k’}^{+}\right)\right\}\\\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ [\hat P^\mu,\hat a_-(\boldsymbol{k})]\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)&=-\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\ k^\mu \hat a_-(\boldsymbol{k})\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\\ [\hat P^\mu,\hat a_-(\boldsymbol{k’})]&=-k’^\mu \hat a_-(\boldsymbol{k’})\end{align}
1行目では以前のページで用いた記号\((\vert)\)を用いて関数の直交を表しており、2行目への変形では以前のページで求めた次の直交関係
\begin{align}(f_k^{\pm}|f_{k’}^{\pm})&=\pm\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)\\(f_k^{\pm}|f_{k’}^{\mp})&=0\end{align}
を用いた。
が得られる。式(15),(17)の両辺を真空状態\(\vert0\rangle\)に作用させると次の式
\begin{align} a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\vert 0\rangle=\vert\boldsymbol{k}\rangle\tag{19}\\ a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\vert 0\rangle=\vert\boldsymbol{k}\rangle\tag{20}\end{align}
\begin{align}[\hat P^\mu,\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})]\vert0\rangle&=k^\mu \hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\vert0\rangle\\\rightarrow(\hat P^\mu \hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat P^\mu)\vert0\rangle&=k^\mu \hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\vert0\rangle\\\rightarrow\hat P^\mu \hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\vert0\rangle&=k^\mu a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\vert0\rangle\\\rightarrow \hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\vert 0\rangle&=\vert\boldsymbol{k}\rangle\end{align}
\begin{align}[\hat P^\mu,\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})]\vert0\rangle&=k^\mu \hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\vert0\rangle\\\rightarrow(\hat P^\mu \hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})-\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat P^\mu)\vert0\rangle&=k^\mu \hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\vert0\rangle\\\rightarrow\hat P^\mu \hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\vert0\rangle&=k^\mu a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\vert0\rangle\\\rightarrow \hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\vert 0\rangle&=\vert\boldsymbol{k}\rangle\end{align}
3行目への変形では真空状態\(\vert0\rangle\)にエネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)を作用させると\(0\)になること
\begin{align*}\hat P^\mu\vert0\rangle=0\end{align*}
を用い、4行目への変形ではエネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)の固有値方程式
\begin{align*}\hat P^\mu \vert\boldsymbol k\rangle&=k^\mu\vert\boldsymbol k\rangle\end{align*}
と比較した。
が得られ、式(16),(18)から
\begin{align}\hat a_+(\boldsymbol{k})\vert\boldsymbol{k}\rangle= \vert 0\rangle\tag{21}\\\hat a_-(\boldsymbol{k})\vert\boldsymbol{k}\rangle= \vert 0\rangle\tag{22}\end{align}
\begin{align}[\hat P^\mu,\hat a_+(\boldsymbol{k})]\vert\boldsymbol k\rangle&=-k^\mu \hat a_+(\boldsymbol{k})\vert\boldsymbol k\rangle\\\rightarrow(\hat P^\mu \hat a_+(\boldsymbol{k})-\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat P^\mu)\vert\boldsymbol k\rangle&=-k^\mu \hat a_+(\boldsymbol{k})\vert\boldsymbol k\rangle\\\rightarrow\hat P^\mu\hat a_+(\boldsymbol{k})\vert\boldsymbol{k}\rangle&=0\\\rightarrow \hat a_+(\boldsymbol{k})\vert\boldsymbol{k}\rangle&= \vert 0\rangle\end{align}
\begin{align}[\hat P^\mu,\hat a_-(\boldsymbol{k})]\vert\boldsymbol k\rangle&=-k^\mu \hat a_-(\boldsymbol{k})\vert\boldsymbol k\rangle\\\rightarrow(\hat P^\mu \hat a_-(\boldsymbol{k})-\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat P^\mu)\vert\boldsymbol k\rangle&=-k^\mu \hat a_-(\boldsymbol{k})\vert\boldsymbol k\rangle\\\rightarrow\hat P^\mu\hat a_-(\boldsymbol{k})\vert\boldsymbol{k}\rangle&=0\\\rightarrow \hat a_-(\boldsymbol{k})\vert\boldsymbol{k}\rangle&= \vert 0\rangle\end{align}
3行目への変形ではエネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)の固有値方程式
\begin{align*}\hat P^\mu \vert\boldsymbol k\rangle&=k^\mu\vert\boldsymbol k\rangle\end{align*}
を用い、4行目への変形では真空状態\(\vert0\rangle\)にエネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)を作用させると\(0\)になることを表した式
\begin{align*}\hat P^\mu\vert0\rangle=0\end{align*}
と比較した。
が得られるが、これらの関係式はまさに生成消滅演算子\(\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol k)\),\(\hat a_\pm(\boldsymbol k)\)が満たす関係式であり、式(9),(10)より生成消滅演算子\(\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol k)\),\(\hat a_\pm(\boldsymbol k)\)が複素スカラー場
\begin{align}\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\tag{9}\\\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a_-(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\tag{10}\end{align}
を構成していることがわかる。
後のページでわかるが、粒子の生成消滅演算子を\(\hat a_+^\dagger(\boldsymbol k)\),\(\hat a_+(\boldsymbol k)\)とすると、反粒子の生成消滅演算子は\(\hat a_-^\dagger(\boldsymbol k)\),\(\hat a_-(\boldsymbol k)\)となる。
次ページから…
次ページでは、生成消滅演算子を用いてハミルトニアン\(\hat H\)と運動量演算子\(\hat{\boldsymbol P}\)が
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{E_{k}}{2}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{2}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\end{align}
と表されることを見て、正規順序をとると
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ E_k\left\{\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \boldsymbol{k}\left\{\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\end{align}
となることを確認する。
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