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本ページでは…
本ページでは、複素スカラー場の正準共役運動量\(\varPi\),\(\varPi^*\)
\begin{align}\varPi&=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0\varPhi}=\partial^0\varPhi\\\varPi^*&=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0\varPhi^*}=\partial^0\varPhi^*\end{align}
を求め、ルジャンドル変換
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ ((\partial^0\varPhi)\varPi+(\partial^0\varPhi^*)\varPi^*-\mathscr L)\end{align*}
によって複素スカラー場のハミルトニアン
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\varPi^*\varPi+(\nabla\varPhi^*)\nabla\varPhi+m^2\varPhi^*\varPhi+\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\right)\end{align*}
を求める。
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前ページでは、複素場の理論におけるクライン-ゴルドン方程式
\begin{align}\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\varPhi&=0\\\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\varPhi^*&=0\end{align}
を導出する作用積分\(S\)
\begin{align}S&=\int d^4x\ \left(\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi\right)\end{align}
を求め、作用積分\(S\)が相対論的不変性と\(Z_2\)不変性、位相変換不変性を持つことを確かめた。
内容
複素スカラー場の正準共役運動量
複素場の理論における正準共役運動量\(\varPi\),\(\varPi^*\)は
\begin{align*}\varPi&=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0\varPhi}\tag{1}\\\varPi^*&=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0\varPhi^*}\tag{2}\end{align*}
であった(以前のページを参照)ため、複素スカラー場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)
\begin{align}\mathscr{L}=\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi-\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\tag{3}\end{align}
を代入すると
\begin{align}\varPi&=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0\varPhi}=\partial^0\varPhi^*\tag{4}\\\varPi^*&=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0\varPhi^*}=\partial^0\varPhi\tag{5}\end{align}
となり、複素スカラー場\(\varPhi\),\(\varPhi^*\)の正準共役運動量\(\varPi\),\(\varPi^*\)が得られる。
ルジャンドル変換
複素場の理論におけるルジャンドル変換は
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ ((\partial^0\varPhi)\varPi+(\partial^0\varPhi^*)\varPi^*-\mathscr L)\tag{6}\end{align*}
であった(以前のページを参照)ため、複素スカラー場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)を代入すると
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ ((\partial^0\varPhi)\varPi+(\partial^0\varPhi^*)\varPi^*-\mathscr L)\\&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\varPi^*\varPi+(\nabla\varPhi^*)\nabla\varPhi+m^2\varPhi^*\varPhi+\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\right)\tag{7}\end{align*}
となり、複素スカラー場のハミルトニアン\(H\)が得られる。また、ハミルトニアン\(H\)とハミルトニアン密度\(\mathscr H\)の関係は
\begin{align*}H=\int dx^3\ \mathscr H\tag{8}\end{align*}
であったため、ハミルトニアン密度\(\mathscr H\)は
\begin{align*}\mathscr H=\varPi^*\varPi+(\nabla\varPhi^*)\nabla\varPhi+m^2\varPhi^*\varPhi+\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\tag{9}\end{align*}
となることが分かる。
クライン-ゴルドン方程式の導出
複素場の理論における正準方程式は
\begin{align*}\frac{\partial \mathscr H}{\partial \varPhi(t,\boldsymbol y)}-\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\varPhi(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\varPi(t,\boldsymbol y)\tag{10}\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial \varPi(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\varPhi(t,\boldsymbol y)\tag{11}\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial \varPhi^*(t,\boldsymbol y)}-\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\varPhi^*(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\varPi^*(t,\boldsymbol y)\tag{12}\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial \varPi^*(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\varPhi^*(t,\boldsymbol y)\tag{13}\end{align*}
であった(以前のページを参照、\(i=1,2,3\))ため、この4式にハミルトニアン密度\(\mathscr H\)を代入すると
\begin{align*}m^2\varPhi^*+\frac{\lambda}{2}(\varPhi^*\varPhi)\varPhi^*-\nabla^2\varPhi^*&=-\partial^0\varPi\tag{14}\\\varPi^*&=\partial^0\varPhi\tag{15}\\m^2\varPhi+\frac{\lambda}{2}(\varPhi^*\varPhi)\varPhi-\nabla^2\varPhi&=-\partial^0\varPi^*\tag{16}\\\varPi&=\partial^0\varPhi^*\tag{17}\end{align*}
となり、式(16)に式(15)を、式(14)に式(17)を代入すると
\begin{align}\partial_\mu\partial^\mu\varPhi+m^2\varPhi+\frac{\lambda}{2}(\varPhi^*\varPhi)\varPhi=0\tag{18}\\\partial_\mu\partial^\mu\varPhi^*+m^2\varPhi^*+\frac{\lambda}{2}(\varPhi^*\varPhi)\varPhi^*=0\tag{19}\end{align}
となって、クライン-ゴルドン方程式が得られる。
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次ページでは、クライン-ゴルドン方程式を導くハミルトニアン\(H\)
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\varPi^*\varPi+(\nabla\varPhi^*)\nabla\varPhi+m^2\varPhi^*\varPhi+\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\right)\end{align*}
を第2量子化することによって、演算子となったハミルトニアン\(\hat H\)
\begin{align*}\hat H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\hat \varPi^\dagger\hat\varPi+(\nabla\hat\varPhi^\dagger)\nabla\hat\varPhi+m^2\hat\varPhi^\dagger\hat\varPhi+\frac{\lambda}{4}(\hat\varPhi^\dagger\hat\varPhi)^2\right)\end{align*}
を求める。
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