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本ページでは…
本ページでは、生成消滅演算子を用いてハミルトニアン\(\hat H\)と運動量演算子\(\hat{\boldsymbol P}\)が
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{E_{k}}{2}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{2}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\end{align}
と表されることを見て、正規順序をとると
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ E_k\left\{\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \boldsymbol{k}\left\{\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\end{align}
となることを確認する。
前ページまで…
前ページでは、複素スカラー場が
\begin{align}\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\\\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a_-(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\end{align}
と表され、生成消滅演算子\(\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol k)\),\(\hat a_\pm(\boldsymbol k)\)から構成されることをみた。
内容
生成消滅演算子の交換関係
複素スカラー場のハミルトニアン\(\hat H\)と生成消滅演算子の関係を調べる際に必要となる｢生成消滅演算子の交換関係｣をはじめに求める。
以前のページで、実スカラー場\(\hat\phi\)における生成消滅演算子の交換関係は
\begin{align}[\hat a(\boldsymbol{k}),\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})]&=\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\tag{1}\\ [\hat a(\boldsymbol{k}),\hat a(\boldsymbol{k’})]&=[\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}),\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})]=0\tag{2}\end{align}
と表されることをみた。複素スカラー場における生成消滅演算子においても同様の関係
\begin{align}[\hat a_+(\boldsymbol{k}),\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})]&=\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\tag{3}\\ [\hat a_-(\boldsymbol{k}),\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})]&=\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\tag{4}\\ [\hat a_\pm(\boldsymbol{k}),\hat a_\pm(\boldsymbol{k’})]&=[\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol{k}),\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol{k’})]=[\hat a_\pm(\boldsymbol{k}),\hat a_\mp(\boldsymbol{k’})]=[\hat a_\pm^\dagger(\boldsymbol{k}),\hat a_\mp^\dagger(\boldsymbol{k’})]=[\hat a_\pm(\boldsymbol{k}),\hat a_\mp^\dagger(\boldsymbol{k’})]=0\tag{5}\end{align}
が成り立つ。
複素スカラー場のハミルトニアンと生成消滅演算子
以前のページで、相互作用項の\((\hat\varPhi^\dagger\varPhi)^2\)項を含んだハミルトニアン
\begin{align*}\hat H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\hat \varPi^\dagger\hat\varPi+(\nabla\hat\varPhi^\dagger)\nabla\hat\varPhi+m^2\hat\varPhi^\dagger\hat\varPhi+\frac{\lambda}{4}(\hat\varPhi^\dagger\hat\varPhi)^2\right)\tag{6}\end{align*}
を求めたが、以後、相互作用項のない自由粒子のハミルトニアン
\begin{align*}\hat H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\hat \varPi^\dagger\hat\varPi+(\nabla\hat\varPhi^\dagger)\nabla\hat\varPhi+m^2\hat\varPhi^\dagger\hat\varPhi\right)\tag{7}\end{align*}
で考える。
ハミルトニアン\(\hat H\)を生成消滅演算子で表してみよう。次の関数\(f_k^\pm\)
\begin{align*}f_k^\pm&=\frac{e^{\mp i(E_\boldsymbol{k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\\&=(f_k^\mp)^*\tag{8}\end{align*}
を用いて表した複素スカラー場(前ページを参照)
\begin{align}\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\tag{9}\\\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a_-(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\tag{10}\end{align}
をハミルトニアンの式(7)に代入すると第1項は
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \hat\varPi^\dagger(t,\boldsymbol{x})\hat\varPi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{E_k}{2} (\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})-\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\tag{11}\end{align}
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\hat\varPi^\dagger(t,\boldsymbol{x})\hat\varPi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{x}(\partial^0\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x}))(\partial^0\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol{x}))\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})(-iE_k)e^{-ik\cdot x}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})(iE_k)e^{ ik\cdot x}\right\}\\&\ \ \ \ ×\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k’}}}\left\{\hat a_-(\boldsymbol{k’})(-iE_{k’})e^{-ik’\cdot x}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})(iE_k)e^{ ik’\cdot x}\right\}\\&=\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{(2\pi)^3}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{\sqrt{E_kE_{k’}}}{2} (\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}})\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}\ \frac{\sqrt{E_kE_{k’}}}{2} (\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ +\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’}))\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{E_k}{2} (\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})-\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\end{align}
4つ目の等号ではデルタ関数の積分表示
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ e^{\pm i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol{k})\end{align}
を用い、5つ目の等号では次の関係式
\begin{align}E_{{k}}=E_{-{k}}=\sqrt{\boldsymbol k^2+m^2}\end{align}
を用いた。
となり、第2項は
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ (\boldsymbol{\nabla}\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol{x}))\boldsymbol{\nabla}\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}^2}{4E_k} (\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\tag{12}\end{align}
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ (\boldsymbol{\nabla}\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol{x}))\boldsymbol{\nabla}\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\left\{\hat a_-(\boldsymbol{k})(i\boldsymbol{k})e^{-ik\cdot x}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})(-i\boldsymbol{k})e^{ ik\cdot x}\right\}\\&\ \ \ \ ×\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k’}}}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k’})(i\boldsymbol{k’})e^{-ik’\cdot x}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})(-i\boldsymbol{k’})e^{ ik’\cdot x}\right\}\\&=\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{(2\pi)^3}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{k’}}{2\sqrt{E_kE_{k’}}} (\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}})\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}\ \frac{\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{k’}}{2\sqrt{E_kE_{k’}}}(\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ +\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’}))\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}^2}{2E_k} (\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\end{align}
3つ目の等号ではデルタ関数の積分表示
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ e^{\pm i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol{k})\end{align}
を用い、4つ目の等号では次の関係式
\begin{align}E_{{k}}=E_{-{k}}=\sqrt{\boldsymbol k^2+m^2}\end{align}
を用いた。
となり、第3項は
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ m^2\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol{x})\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{m^2}{2E_k} (\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\tag{13}\end{align}
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ m^2\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol{x})\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x})&=m^2\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\left\{\hat a_-(\boldsymbol{k})e^{-ik\cdot x}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})e^{ ik\cdot x}\right\}\\&\ \ \ \ ×\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k’}}}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{-ik’\cdot x}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{ ik’\cdot x}\right\}\\&=\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{(2\pi)^3}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{m^2}{2\sqrt{E_kE_{k’}}} (\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}})\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}\ \frac{m^2}{2\sqrt{E_kE_{k’}}}(\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ +\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ +\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ +\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’}))\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{m^2}{2E_k} (\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\end{align}
3つ目の等号ではデルタ関数の積分表示
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ e^{\pm i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol{k})\end{align}
を用い、4つ目の等号では次の関係式
\begin{align}E_{{k}}=E_{-{k}}=\sqrt{\boldsymbol k^2+m^2}\end{align}
を用いた。
となるため、3つの項を足し合わせると
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{E_k}{2}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\tag{14}\end{align}
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \left\{\hat\varPi^\dagger\varPi+\left(\boldsymbol{\nabla}\hat\varPhi^\dagger\right)\boldsymbol{\nabla}\hat\varPhi+m^2\hat\varPhi^\dagger\varPhi\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\frac{E_k}{2}(\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k}))+\frac{\boldsymbol{k}^2+m^2}{2E_k}(\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k}))+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k}))+\frac{-E_k^2+\boldsymbol{k}^2+m^2}{4E_k}(\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{E_k}{2}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\end{align}
2行目への変形では、\(\hat a_+(\boldsymbol k)\)と\(\hat a_-^\dagger(\boldsymbol k)\)が、\(\hat a_-(\boldsymbol k)\)と\(\hat a_+^\dagger(\boldsymbol k)\)が可換であることを用いた。
と生成消滅演算子で表したハミルトニアン\(\hat H\)を求めることができる。ここで、ハミルトニアンから時間\(t\)が消えたのは、ハミルトニアン\(H\)が保存量であることを表している。
複素スカラー場の運動量と生成消滅演算子
次に、運動量演算子\(\hat{\boldsymbol P}\)を生成消滅演算子で表してみよう。以前のページで求めた運動量演算子の式
\begin{align}\hat{\boldsymbol P}&=-\int\text{d}^3\boldsymbol x\ \frac{1}{2}(\hat\varPi\boldsymbol \nabla\hat\varPhi+(\boldsymbol \nabla\hat\varPhi)\hat\varPi+\hat\varPi^\dagger\boldsymbol \nabla\hat\varPhi^\dagger+(\boldsymbol \nabla\hat\varPhi^\dagger)\hat\varPi^\dagger)\tag{15}\end{align}
に複素スカラー場の式(9),(10)を代入すると第1項は
\begin{align}-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{1}{2}\hat\varPi(t,\boldsymbol{x})\boldsymbol{\nabla}\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{4} (\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\tag{16}\end{align}
\begin{align}-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{1}{2}\hat\varPi(t,\boldsymbol{x})\boldsymbol{\nabla}\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x})&=-\frac{1}{2}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\left\{\hat a_-(\boldsymbol{k})(-iE_k)e^{-ik\cdot x}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})(iE_k)e^{ ik\cdot x}\right\}\\&\ \ \ \ ×\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k’}}}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k’})(i\boldsymbol{k’})e^{-ik’\cdot x}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})(-i\boldsymbol{k’})e^{ ik’\cdot x}\right\}\\&=\frac{1}{2}\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{(2\pi)^3}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{E_k\boldsymbol{k’}}{2\sqrt{E_kE_{k’}}} (\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}})\\&=\frac{1}{2}\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \text{d}^3\boldsymbol{k’}\ \frac{E_k\boldsymbol{k’}}{2\sqrt{E_kE_{k’}}}(\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ +\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’}))\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{4} (a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\end{align}
3つ目の等号ではデルタ関数の積分表示
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ e^{\pm i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol{k})\end{align}
を用い、4つ目の等号では次の関係式
\begin{align}E_{{k}}=E_{-{k}}=\sqrt{\boldsymbol k^2+m^2}\end{align}
を用いた(デルタ関数の性質を用いる際に式全体に\(\boldsymbol{k}’\)が掛けられていることに注意する)。
となり、第2項は
\begin{align}-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{1}{2}(\boldsymbol{\nabla}\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x}))\hat\varPi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{4} (\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})-\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\tag{17}\end{align}
\begin{align}-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\frac{1}{2}(\boldsymbol{\nabla}\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x}))\hat\varPi(t,\boldsymbol{x})&=-\frac{1}{2}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})(i\boldsymbol{k})e^{-ik\cdot x}+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})(-i\boldsymbol{k})e^{ ik\cdot x}\right\}\\&\ \ \ \ ×\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k’}}}\left\{\hat a_-(\boldsymbol{k’})(-iE_{k’})e^{-ik’\cdot x}+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})(iE_{k’})e^{ ik’\cdot x}\right\}\\&=\frac{1}{2}\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{(2\pi)^3}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{E_{k’}\boldsymbol{k}}{2\sqrt{E_kE_{k’}}} (\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}})\\&=\frac{1}{2}\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}\ \frac{E_{k’}\boldsymbol{k}}{2\sqrt{E_kE_{k’}}}(\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ +\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’}))\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{4} (a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})-\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\end{align}
3つ目の等号ではデルタ関数の積分表示
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ e^{\pm i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol{k})\end{align}
を用い、4つ目の等号では次の関係式
\begin{align}E_{{k}}=E_{-{k}}=\sqrt{\boldsymbol k^2+m^2}\end{align}
を用いた。
となり、第3項は
\begin{align}-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{1}{2}\hat\varPi^\dagger(t,\boldsymbol{x})\boldsymbol{\nabla}\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{4} (\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{-k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})e^{2iE_kt}-\hat a_+(\boldsymbol{-k})\hat a_-(\boldsymbol{k})e^{-2iE_kt})\tag{18}\end{align}
\begin{align*}-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{1}{2}\hat\varPi^\dagger(t,\boldsymbol{x})\boldsymbol{\nabla}\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol{x})&=-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\frac{1}{2}((\boldsymbol{\nabla}\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x}))\hat\varPi(t,\boldsymbol{x}))^\dagger\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{4} (\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})-\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{-k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})e^{2iE_kt}-\hat a_+(\boldsymbol{-k})\hat a_-(\boldsymbol{k})e^{-2iE_kt})\end{align*}
となり、第4項は
\begin{align}-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{1}{2}(\boldsymbol{\nabla}\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol{x}))\hat\varPi^\dagger(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{4} (\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})+\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{-k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})e^{2iE_kt}+\hat a_-(\boldsymbol{-k})\hat a_+(\boldsymbol{k})e^{-2iE_kt})\tag{19}\end{align}
\begin{align}-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{1}{2}(\boldsymbol{\nabla}\hat\varPhi^\dagger(t,\boldsymbol{x}))\hat\varPi^\dagger(t,\boldsymbol{x})&=-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{1}{2}(\hat\varPi(t,\boldsymbol{x})\boldsymbol{\nabla}\hat\varPhi(t,\boldsymbol{x}))^\dagger\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{4} (\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})+\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{-k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})e^{2iE_kt}+\hat a_-(\boldsymbol{-k})\hat a_+(\boldsymbol{k})e^{-2iE_kt})\tag{19}\end{align}
となるため、4つの項を足し合わせると
\begin{align}\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{2}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\tag{20}\end{align}
と生成消滅演算子で表した運動量演算子を求めることができる(ここで、\(\hat a_+(\boldsymbol k)\)と\(\hat a_-^\dagger(\boldsymbol k)\)が、\(\hat a_-(\boldsymbol k)\)と\(\hat a_+^\dagger(\boldsymbol k)\)が可換であることを用いた。)。ハミルトニアンと同様、運動量演算子\(\hat{\boldsymbol P}\)から時間\(t\)が消えたのは、運動量\(\boldsymbol P\)が保存量であることを表している。
正規順序
ハミルトニアンと運動量演算子
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{E_{k}}{2}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\tag{14}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{2}\left\{\hat a_+(\boldsymbol{k})\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_-(\boldsymbol{k})\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\tag{20}\end{align}
において、生成演算子\(a^\dagger(\boldsymbol{k})\)を消滅演算子\(a(\boldsymbol{k})\)の左に持ってくる正規順序を行なうと、
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ E_k\left\{\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\tag{21}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \boldsymbol{k}\left\{\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\tag{22}\end{align}
となる。実スカラー場のときと同様(以前のページを参照)に、運動量における正規順序は単なる式変形に過ぎないが、ハミルトニアンにおける正規順序は発散量である真空エネルギー\(E_0\)を無視する操作に等しい。
式(21)と式(22)をまとめると
\begin{align}\hat{{P}}^\mu&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ {k}^\mu\left\{\hat a_+^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_+(\boldsymbol{k})+\hat a_-^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a_-(\boldsymbol{k})\right\}\tag{23}\end{align}
となる。
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