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本ページでは、複素場の理論におけるクライン-ゴルドン方程式
\begin{align}\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\varPhi&=0\\\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\varPhi^*&=0\end{align}
を導出するラグランジアン密度\(\mathscr{L}\)
\begin{align}\mathscr{L}=\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi\end{align}
を求め、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)が相対論的不変性と\(Z_2\)不変性、位相変換不変性を持つことを確かめる。
内容
複素スカラー場のラグランジアン密度
複素場の理論において、クライン-ゴルドン方程式
\begin{align}\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\varPhi&=0\tag{1}\\\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\varPhi^*&=0\tag{2}\end{align}
を導出するラグランジアン密度\(\mathscr{L}\)は
\begin{align}\mathscr{L}=\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi\tag{3}\end{align}
である。実際にオイラー-ラグランジュ方程式(以前のページを参照)
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\varPhi^*}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\varPhi^*}=0\tag{4}\\\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\varPhi}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\varPhi}=0\tag{5}\end{align}
に代入してみると
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\varPhi^*}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\varPhi^*}&=\partial_\mu\partial^\mu\varPhi+m^2\varPhi\\&=0\tag{6}\end{align}
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\varPhi^*}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\varPhi^*}&=\partial_\mu\left\{\frac{\partial}{\partial \partial_\mu\varPhi^*}\left(\partial_\nu\varPhi^*\partial^\nu\varPhi\right)\right\}-\frac{\partial}{\partial\varPhi^*}\left(-m^2\varPhi^*\varPhi\right)\\&=\partial_\mu\left\{\frac{\partial}{\partial \partial_\mu\varPhi^*}\left(\eta^{\nu\rho}\partial_\nu\varPhi^*\partial_\rho\varPhi\right)\right\}+m^2\varPhi\\&=\partial_\mu\eta^{\nu\rho}\left\{\frac{\partial\left(\partial_\nu\varPhi^*\right)}{\partial \partial_\mu\varPhi^*}\partial_\rho\varPhi\right\}+m^2\varPhi\\&=\partial_\mu\eta^{\nu\rho}\left(\delta_\nu{}^\mu\partial_\rho\varPhi\right)+m^2\varPhi\\&=\partial_\mu\partial^\mu\varPhi+m^2\varPhi\\&=0\tag{4}\end{align}
2行目への変形では計量テンソル\(\eta^{\nu\rho}\)を用いて上付き添字を下付き添字に変えた(以前のページを参照)。
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\varPhi}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\varPhi}&=\partial_\mu\partial^\mu\varPhi^*+m^2\varPhi^*\\&=0\tag{7}\end{align}
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\varPhi}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\varPhi}&=\partial_\mu\left\{\frac{\partial}{\partial \partial_\mu\varPhi}\left(\partial_\nu\varPhi^*\partial^\nu\varPhi\right)\right\}-\frac{\partial}{\partial\varPhi}\left(-m^2\varPhi^*\varPhi\right)\\&=\partial_\mu\left\{\frac{\partial}{\partial \partial_\mu\varPhi}\left(\eta^{\nu\rho}\partial_\nu\varPhi^*\partial_\rho\varPhi\right)\right\}+m^2\varPhi^*\\&=\partial_\mu\eta^{\nu\rho}\left\{\frac{\partial\left(\partial_\rho\varPhi\right)}{\partial \partial_\mu\varPhi}\partial_\nu\varPhi^*\right\}+m^2\varPhi^*\\&=\partial_\mu\eta^{\nu\rho}\left(\delta_\rho{}^\mu\partial_\nu\varPhi\right)+m^2\varPhi^*\\&=\partial_\mu\partial^\mu\varPhi^*+m^2\varPhi^*\\&=0\tag{4}\end{align}
2行目への変形では計量テンソル\(\eta^{\nu\rho}\)を用いて上付き添字を下付き添字に変えた(以前のページを参照)。
となって、クライン-ゴルドン方程式が導出されることが分かる。
相互作用項を持つラグランジアン密度
相互作用項をもつラグランジアン密度を考える。実スカラー場\(\phi\)と複素スカラー場\(\varPhi\),\(\varPhi^*\)の質量次元はどちらも\(1\)であり、スカラー場の理論のときと同様に\(Z_2\)不変性とくりこみ理論を要求すると相互作用項は質量次元が\(4\)の項に絞られる。また、ハミルトニアン(エネルギー)\(H\)が実数となるためラグランジアン密度\(\mathscr L\)が実数となるよう(位相変換不変性)に形を制限すると
\begin{align}\mathscr{L}=\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi-\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\tag{8}\end{align}
となり、クライン-ゴルドン方程式は
\begin{align}\partial_\mu\partial^\mu\varPhi+m^2\varPhi+\frac{\lambda}{2}(\varPhi^*\varPhi)\varPhi=0\tag{9}\\\partial_\mu\partial^\mu\varPhi^*+m^2\varPhi^*+\frac{\lambda}{2}(\varPhi^*\varPhi)\varPhi^*=0\tag{10}\end{align}
となる。ここで、\(\lambda\)は結合定数と呼ばれる定数である。また、\(\varPhi^*\varPhi\)はノルムであり、式(9)は複素スカラー場\(\varPhi\)のみ、式(10)は複素スカラー場\(\varPhi^*\)のみから構成されていることが分かる。
ラグランジアン密度の相対論的不変性
複素スカラー場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)が相対論的不変性を持つことを確認する。
複素スカラー場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)
\begin{align}\mathscr{L}=\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi-\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\tag{8}\end{align}
において、ローレンツ変換によって複素スカラー場\(\varPhi\),\(\varPhi^*\)とダランベルシアン\(\partial_\mu\partial^\mu\)が次のように変換
\begin{align*}\varPhi&\rightarrow\varPhi’\\\varPhi^*&\rightarrow\varPhi’^*\\\partial_\mu\partial^\mu&\rightarrow\partial’_\mu\partial’^\mu\end{align*}
する際、変換後のラグランジアン密度\(\mathscr L’\)は
\begin{align}\mathscr{L}’=\partial’_\mu\varPhi’^*\partial’^\mu\varPhi’-m^2\varPhi’^*\varPhi’-\frac{\lambda}{4}(\varPhi’^*\varPhi’)^2\tag{11}\end{align}
となる。また、複素スカラー場\(\varPhi\),\(\varPhi^*\)やダランベルシアン\(\partial_\mu\partial^\mu\)は全てスカラーなためローレンツ変換によって変化しない
\begin{align*}\varPhi’&=\varPhi\\\varPhi’^*&=\varPhi^*\\\partial’_\mu\partial’^\mu&=\partial_\mu\partial^\mu\end{align*}
ため、ラグランジアン密度\(\mathscr L’\)
\begin{align}\mathscr{L}’&=\partial’_\mu\varPhi’^*\partial’^\mu\varPhi’-m^2\varPhi’^*\varPhi’-\frac{\lambda}{4}(\varPhi’^*\varPhi’)^2\\&=\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi-\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\\&=\mathscr{L}\tag{12}\end{align}
はローレンツ変換前の作用積分\(S\)と等しくなり、複素スカラー場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)は相対論的不変性を持つことが分かる。
ラグランジアン密度の\(Z_2\)不変性
複素スカラー場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)が\(Z_2\)不変性も持つことを確認する。
複素スカラー場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)
\begin{align}\mathscr{L}=\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi-\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\tag{8}\end{align}
において、\(Z_2\)変換によって複素スカラー場\(\varPhi\),\(\varPhi^*\)が次のように変換
\begin{align*}\varPhi\rightarrow\varPhi’=-\varPhi\\\varPhi^*\rightarrow\varPhi’^*=-\varPhi^*\end{align*}
する際、変換後のラグランジアン密度\(\mathscr L’\)は
\begin{align}\mathscr{L}’&=\partial_\mu\varPhi’^*\partial^\mu\varPhi’-m^2\varPhi’^*\varPhi’-\frac{\lambda}{4}(\varPhi’^*\varPhi’)^2\\&=\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi-\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\\&=\mathscr{L}\tag{13}\end{align}
と\(Z_2\)変換前のラグランジアン密度\(\mathscr L\)と等しくなり、複素スカラー場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)は\(Z_2\)不変性を持つことが分かる。
ラグランジアン密度の位相変換不変性
複素スカラー場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)が位相変換不変性も持つことを確認する。
複素スカラー場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)
\begin{align}\mathscr{L}=\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi-\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\tag{8}\end{align}
において、位相変換によって複素スカラー場\(\varPhi\),\(\varPhi^*\)が次のように変換
\begin{align*}\varPhi\rightarrow\varPhi’=e^{-i\theta}\varPhi\\\varPhi^*\rightarrow\varPhi’^*=e^{i\theta}\varPhi^*\end{align*}
する際、変換後のラグランジアン密度\(\mathscr L’\)は
\begin{align}\mathscr{L}’&=\partial_\mu\varPhi’^*\partial^\mu\varPhi’-m^2\varPhi’^*\varPhi’-\frac{\lambda}{4}(\varPhi’^*\varPhi’)^2\\&=\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi-\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\\&=\mathscr{L}\tag{14}\end{align}
と位相変換前のラグランジアン密度\(\mathscr L\)と等しくなり、複素スカラー場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)は位相変換不変性を持つことが分かる(ハミルトニアン(エネルギー)が実数となるようにハミルトニアン密度は実数であるから、位相変換不変性は当然の帰結である)。
運動項とポテンシャル項
場の理論のときと同様、複素場の理論のラグランジアン密度\(\mathscr L\)
\begin{align}\mathscr{L}&=\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi-\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\tag{8}\end{align}
においても
\begin{align*}V&=m^2\varPhi^*\varPhi+\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\tag{15}\end{align*}
と置けば、
\begin{align}\mathscr{L}=\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-V\tag{16}\end{align}
となって、運動項\(\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi\)とポテンシャル項\(m^2\varPhi^*\varPhi+\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\)から構成されていることが分かる。
もし、運動項またはポテンシャル項の関数形が下に凸でないと、エネルギーに下限がなくなり、どのような状態であってもエネルギーを放出しながらより低いエネルギー準位に遷移して安定状態をとれなくなる。そのため、運動項とポテンシャル項の関数形は下に凸である必要があるが、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)の式(8)の運動項\(\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi\)とポテンシャル項\(m^2\varPhi^*\varPhi+\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\)ではしっかりとそのようになっている。
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次ページでは、複素場の理論におけるクライン-ゴルドン方程式
\begin{align}\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\varPhi&=0\\\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\varPhi^*&=0\end{align}
を導出する作用積分\(S\)
\begin{align}S&=\int d^4x\ \left(\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi\right)\end{align}
を求め、作用積分\(S\)が相対論的不変性と\(Z_2\)不変性、位相変換不変性を持つことを確かめる。
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