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本ページでは、位置を連続変数と捉えることで、配位空間での経路積分表示(1自由度)を汎関数積分の形で求める。
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前ページでは、位相空間での経路積分表示(1自由度)に具体的なハミルトニアンを代入し、フレネル積分を行なうことにより、配位空間での経路積分表示を求めた。
\begin{align*} &K(q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}) \\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod^{N-1}_{n=1}\int dq_{\scriptsize{n}}\right)\Bigg( \frac{m}{2\pi\hbar i\varDelta t}\Bigg)^{\frac{N}{2}} \\&\ \ \ ×\exp\bigg[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\Big\{\frac{m}{2}\left(\frac{q_{\scriptsize{n}}-q_{\scriptsize{n-1}}}{\varDelta t}\right)^2-V(q_{\scriptsize{n}})\Big\}\bigg] \tag{1}\end{align*}
内容
汎関数積分で表した配位空間での経路積分表示
前回求めた(\(1\))では、\(N\rightarrow\infty\)の極限をとっていることから、位相空間での経路積分表示のときと同様に、汎関数積分の形で表すこともできる。このとき、次の変換を行なう。
\begin{align*} q_{\scriptsize n}=q(t_{\scriptsize n})&\rightarrow q(t)\tag{2} \\\sum_{n=1}^{N}\varDelta t&\rightarrow\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt \tag{3}\\\frac{q_{\scriptsize n}-q_{\scriptsize {n-1}}}{\varDelta t}=\frac{q(t_{\scriptsize n})-q(t_{\scriptsize {n-1}})}{\varDelta t}&\rightarrow\frac{dq(t)}{dt}=\dot q(t)\tag{4}\end{align*}
\begin{align*}&\left(\prod^{N-1}_{n=1}\int dq_{\scriptsize{n}}\right)\Bigg( \frac{m}{2\pi\hbar i\varDelta t}\Bigg)^{\frac{N}{2}}\\=&\left(\prod^{N-1}_{n=1}\int dq(t_{\scriptsize{n}})\right)\Bigg( \frac{m}{2\pi\hbar i\varDelta t}\Bigg)^{\frac{N}{2}}\\&\rightarrow \int_{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}} \mathcal{D}q(t)\tag{5}\end{align*}
位相空間での経路積分表示(1自由度)のときと同様に、式(\(2\))において、位置\(q_{\scriptsize n}\)は積分変数だが、時刻を表す添字\(n\)が付いている。また、\(N\rightarrow\infty\)の極限をとると、時刻を表す添字\(n\)および時間\(t_{\scriptsize n}\)は連続変数になるため、位置\(q_{\scriptsize n}\)は時間\(t\)の関数と見なすことができる。また、式(\(3\))では総和を積分表示にしており、式(\(4\))では微分表示を用いた。
最後に、式(\(2\))から式(\(4\))の変換によって、被積分関数に含まれる位置\(q_{\scriptsize n}\)は単なる変数ではなくなり、\(q(t)\)のように関数の形になってしまった。また、\(N\rightarrow\infty\)の極限をとることによって、積分変数である\(\prod dq_{\scriptsize n}\)も連続変数となってしまった。そこで、式(\(5\))のように、積分変数を関数として表記する。今回のように積分変数が関数の場合、\(d\)ではなく\(\mathcal D\)を用いる。また、位置\(p(t)\)の積分範囲は\(q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}\)と\(q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}\)の条件を満たす関数形になる。※※※
式(\(2\))から式(\(5\))の変換を、式(\(1\))の配位空間での経路積分表示(1自由度)に行なうと、
\begin{align*} &K(q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}})\\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod^{N-1}_{n=1}\int dq_{\scriptsize{n}}\right)\Bigg( \frac{m}{2\pi\hbar i\varDelta t}\Bigg)^{\frac{N}{2}} \\&\ \ \ ×\exp\bigg[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\Big\{\frac{m}{2}\left(\frac{q_{\scriptsize{n}}-q_{\scriptsize{n-1}}}{\varDelta t}\right)^2-V(q_{\scriptsize{n}})\Big\}\bigg] \\&=\int_{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}} \mathcal{D}q(t) \exp\bigg[\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt\ \left\{\frac{m}{2}\dot{q}(t)^2-V(q(t))\right\}\bigg] \tag{6}\end{align*}
となる。2番目の等号では、被積分関数部分は座標\(q(t)\)の関数の形から値が決まるため、被積分関数部分は汎関数であり、関数を積分変数として汎関数を積分しているためこれも汎関数積分である。よって、式(6)が汎関数積分で表した配位空間での経路積分表示(1自由度)である。
式(\(6\))を解釈してみる。1番目の等号では、各時刻\(t_{\scriptsize{n}}\)における位置\(q_{\scriptsize{n}}\)を積分変数として、時刻\(t_{\scriptsize{\text{I}}}\)から時刻\(t_{\scriptsize{\text{F}}}\)の間であらゆる位置\(q_{\scriptsize{n}}\)で積分している。一方、2番目の等号では、 時間\(t\)の関数である座標\(q(t)\)を積分変数として、あらゆる関数形で積分している(ただし、位置\(p(t)\)の積分範囲は\(q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}\)と\(q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}\)の条件を満たす)。以上から分かるように、等号でも結ばれているため当然の結果であるが、1番目の等号でも2番目の等号でも同じ作業を意味している。
経路積分と作用積分の関係性
式(\(6\))には、ラグランジアン\(L\)
\begin{align}
L(q(t),\dot{q}(t))=\frac{m}{2}\dot q(t)^2-V(q(t))\tag{7}
\end{align}
が現れており、ラグランジアン\(L\)で表すと次のように変形できる。
\begin{align*} &K(q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}})\\&=\int_{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}} \mathcal{D}q(t)\ \exp\left\{\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt\ L(q(t),\dot{q}(t))\right\} \\&=\int_{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}} \mathcal{D}q(t)\ \exp\left\{\frac{i}{\hbar}S[q(t)]\right\} \tag{8}\end{align*}
最後の等号では、次の作用積分\(S\)の定義を用いた。
\begin{align} S[q(t)]=\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt\ L(q(t),\dot{q}(t)) \tag{9}\end{align}
以上より、配位空間での経路積分表示(1自由度)では、汎関数積分の形で表した際に作用積分\(S\)が現れることが分かる。
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本ページでは、配位空間での経路積分表示(1自由度)から汎関数積分の形に変換した。しかし、実は汎関数積分の形になっている位相空間での経路積分表示から直接求めることもできる。これについては、次ページで実際に見ていく。
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