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本ページでは、位置と運動量を連続変数と捉えることで、位相空間での経路積分表示(スカラー場)を汎関数積分の形で求める。
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前ページでは、ファインマン核\(K(\phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};\phi_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}})\)から出発し、位相空間での経路積分表示(スカラー場)を求めた。
\begin{align*} &K(\phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};\phi_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}) \\&=\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x) \right)\\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}},t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert \phi_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{n}},t_{\scriptsize{n}}\vert \phi_{\scriptsize{n-1}},t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle\phi_{\scriptsize{2}},t_{\scriptsize{2}}\vert \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\vert \phi_{\scriptsize{\text{I}}},t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\right)\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N}_{n=1}\int\frac{\varDelta Vd\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)}{2\pi\hbar}\right) \\&\ \ \ ×\exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\left\{\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\left(\frac{\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)-\phi_{\scriptsize{n-1}}(\boldsymbol x)}{\varDelta t}\right)-\mathcal H(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x),\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))\right\}\right]\tag{17} \end{align*}
内容
汎関数積分とは
汎関数積分とは、被積分関数部分が汎関数であり、積分変数が関数の形をしている積分のことをいう。
汎関数積分で表した位相空間での経路積分表示
前回求めた(\(1\))では、\(N\rightarrow\infty\)の極限をとっていることから、1自由度や多自由度のときと同様に汎関数積分の形で表すこともできる。このとき、次の変換を行なう。
\begin{align*} \phi_{\scriptsize {n}}(\boldsymbol x)=\phi(t_{\scriptsize n},\boldsymbol x)&\rightarrow \phi(t,\boldsymbol x)\tag{2} \\\pi_{\scriptsize {n}}(\boldsymbol x)=\pi(t_{\scriptsize n},\boldsymbol x)&\rightarrow \pi(t,\boldsymbol x)\tag{3} \\\sum_{n=1}^{N}\varDelta t&\rightarrow\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt \tag{4}\\\frac{\phi_{\scriptsize {n}}-\phi_{\scriptsize {n-1}}(\boldsymbol x)}{\varDelta t}=\frac{\phi(t_{\scriptsize n},\boldsymbol x)-\phi(t_{\scriptsize {n-1}},\boldsymbol x)}{\varDelta t}&\rightarrow\frac{d\phi(t,\boldsymbol x)}{dt}=\dot \phi(t,\boldsymbol x)\tag{5}\end{align*}
\begin{align*}&\left(\prod_{\boldsymbol x}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize {n}}(\boldsymbol x)\right)\left(\prod_{\boldsymbol x}\prod^{N}_{n=1}\int \frac{\varDelta Vd\pi_{\scriptsize {n}}(\boldsymbol x)}{2\pi\hbar}\right)\\=&\left(\prod_{\boldsymbol x}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi(t_{\scriptsize{n}},\boldsymbol x)\right)\left(\prod_{\boldsymbol x}\prod^{N}_{n=1}\int \frac{\varDelta Vd\pi(t_{\scriptsize{n}},\boldsymbol x)}{2\pi\hbar}\right)\\&\rightarrow \prod_{\boldsymbol x}\int\mathcal{D}\pi(t,\boldsymbol x)\int_{\substack{{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{I}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text I}}(\boldsymbol x)}\\{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{F}}},\boldsymbol x )=\phi_{\scriptsize {\text F}}(\boldsymbol x)}}} \mathcal{D}\phi(t,\boldsymbol x)\\&\rightarrow \int\mathcal{D}\pi\int_{\substack{{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{I}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text I}}(\boldsymbol x)}\\{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{F}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text F}}(\boldsymbol x)}}}\mathcal{D}\phi\tag{6}\end{align*}
※※※式(\(2\))および式(\(3\))において、スカラー場\(\phi_{\scriptsize {n}}(\boldsymbol x)\)や正準運動量\(\pi_{\scriptsize {n}}(\boldsymbol x)\)は積分変数だが、時刻を表す添字\(n\)が付いている。また、\(N\rightarrow\infty\)の極限をとると、時刻を表す添字\(n\)および時間\(t_{\scriptsize n}\)は連続変数になるため、スカラー場\(\phi_{\scriptsize {n}}(\boldsymbol x)\)と正準運動量\(\pi_{\scriptsize {n}}(\boldsymbol x)\)は時間\(t\)の関数と見なすことができる。また、式(\(4\))では総和を積分表示にしており、式(\(5\))では微分表示を用いた。
最後に、式(\(2\))から式(\(5\))の変換によって、被積分関数に含まれるスカラー場\(\phi_{\scriptsize {n}}(\boldsymbol x)\)や正準運動量\(\pi_{\scriptsize {n}}(\boldsymbol x)\)は、\(\phi(t,\boldsymbol x)\)や\(\pi(t,\boldsymbol x)\)のように空間座標\(\boldsymbol x\)に対してだけでなく時間\(t\)に対しても関数の形になってしまった。また、\(N\rightarrow\infty\)の極限をとることによって、積分変数である\(\prod d\phi_{\scriptsize {n}}(\boldsymbol x)\)や\(\prod d\pi_{\scriptsize {\text F}}(\boldsymbol x)\)も時刻を表す\(n\)に対して連続変数となってしまった。そこで、式(\(6\))のように、積分変数を関数として表記する。今回のように積分変数が関数の場合、\(d\)ではなく\(\mathcal D\)を用いる。また、運動量\(\pi(t,\boldsymbol x)\)の積分範囲はあらゆる関数形だが、位置\(\phi(t,\boldsymbol x)\)の積分範囲は\({}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{I}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text I}}(\boldsymbol x)}\)と\({}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{F}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text F}}(\boldsymbol x)}\)の条件を満たす関数形になる。
今回のスカラー場において、ハミルトニアン密度\(\mathcal H\)の表記が少しややこしいため、具体的に記載すると次のようになる。
\begin{align*}\mathcal H(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x),\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))=\mathcal H(\phi(t_{\scriptsize{n}},\boldsymbol x),\pi(t_{\scriptsize{n}},\boldsymbol x))\rightarrow\mathcal H(\phi(t,\boldsymbol x),\pi(t,\boldsymbol x))\tag{7}\end{align*}
※※※
式(\(2\))から式(\(7\))の変換を、式(\(1\))の位相空間での経路積分表示(スカラー場)に行なうと、
\begin{align*} &K(\phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};\phi_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}) \\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})\right)\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N}_{n=1}\int\frac{\varDelta Vd\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})}{2\pi\hbar}\right) \\&\ \ \ ×\exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\left\{\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})\left(\frac{\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})-\phi_{\scriptsize{n-1}}(\boldsymbol{x})}{\varDelta t}\right)-\mathcal H(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x}),\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x}))\right\}\right] \\&=\int\mathcal{D}\pi\int_{\substack{{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{I}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize{\text I}(\boldsymbol{x}})}\\{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{F}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize{\text F}(\boldsymbol{x}})}}} \mathcal{D}\phi\ \exp\left[\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt\ \int d^3\boldsymbol{x}\ \left\{\pi(t,\boldsymbol{x})\dot{\phi}(t,\boldsymbol{x})-\mathcal{H}(\phi(t,\boldsymbol{x}),\pi(t,\boldsymbol{x}))\right\}\right] \tag{8}\end{align*}
となる。ここで、
\begin{align*}\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\rightarrow \int d^3\boldsymbol x\end{align*}
の表現を用いた。2番目の等号では、被積分関数部分はスカラー場\(\phi(t,\boldsymbol x)\)と運動量\(\pi(t,\boldsymbol x)\)の関数の形から値が決まるため、被積分関数部分は汎関数であり、関数を積分変数として汎関数を積分しているため汎関数積分である。よって、式(8)が汎関数積分で表した位相空間での経路積分表示(スカラー場)である。
式(\(8\))を解釈してみる。1番目の等号では、各時刻\(t_{\scriptsize{n}}\)におけるスカラー場\(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})\)および正準運動量\(\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})\)を積分変数として、時刻\(t_{\scriptsize{\text{I}}}\)から時刻\(t_{\scriptsize{\text{F}}}\)の間であらゆるスカラー場\(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})\)および正準運動量\(\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})\)で積分している。一方、2番目の等号では、 時間\(t\)の関数であるスカラー場\(\phi(t,\boldsymbol x)\)または正準運動量\(\pi(t,\boldsymbol x)\)を積分変数として、あらゆる関数形で積分している(ただし、スカラー場\(\phi(t,\boldsymbol x)\)の積分範囲は\(\phi(t_{\scriptsize{\text{I}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize{\text I}}(\boldsymbol{x})\)と\(\phi(t_{\scriptsize{\text{F}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize{\text F}}(\boldsymbol{x})\)の条件を満たす)。以上から分かるように、等号でも結ばれているため当然の結果であるが、1番目の等号でも2番目の等号でも同じ作業を意味している。
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