【やさしい電磁気学】構成方程式(電束密度と電場)

HOME ＞電磁気学＞静電場＞構成方程式(電束密度と電場)

【前ページ】【次ページ】

Contents

本ページでは…

本ページでは、構成方程式

\begin{align*}\boldsymbol D=\epsilon_0\boldsymbol E+\boldsymbol P\end{align*}

を求め、源場である電束密度\(\boldsymbol D\)と力場である電場\(\boldsymbol E\)の関係が分極\(\boldsymbol P\)を介して得られることを確認する。

前ページでは、源場である電束密度\(\boldsymbol D\)と力場である電場\(\boldsymbol E\)が誘電率\(\epsilon\)を用いて次の関係

\begin{align*}\boldsymbol E=\frac{1}{\epsilon}\boldsymbol D\end{align*}

があり、特に真空状態では真空の誘電率\(\epsilon_0\)を用いて

\begin{align*}\boldsymbol E_0=\frac{1}{\epsilon_0}\boldsymbol D\end{align*}

となることを見た。

真電荷が作る電束密度\(\boldsymbol D\)は、真電荷の総和\(Q_{\text f}\)を用いて次のガウスの法則

\begin{align*}\int_S\boldsymbol D\cdot d\boldsymbol S=Q_{\text f}\tag{1}\end{align*}

を満たすように定義されていた。同様に、分極電荷が作る分極\(\boldsymbol P\)と呼ばれる量を、分極電荷の総和\(Q_{\text b}\)を用いて次のガウスの法則

\begin{align*}-\int_S\boldsymbol P\cdot d\boldsymbol S=Q_{\text b}\tag{2}\end{align*}

で定義する。分極\(\boldsymbol P\)の単位は電束密度\(\boldsymbol D\)と同様に\(\text C\cdot\text m^{-2}\)である。

電束密度\(\boldsymbol D\)の定義と異なり分極\(\boldsymbol P\)の定義でマイナスが付いている理由については、後のページを参照。

真空状態において、真電荷が作る電束密度\(\boldsymbol D\)と電場\(\boldsymbol E_0\)の関係は

\begin{align*}\boldsymbol E_0=\frac{1}{\epsilon_0}\boldsymbol D\tag{3}\end{align*}

であった(前ページを参照)。また、分極電荷が作る電場\(\boldsymbol E_{\text p}\)は次のガウスの法則

\begin{align*}\int_S\boldsymbol E_{\text p}\cdot d\boldsymbol S&=\frac{Q_{\text b}}{\epsilon_0}\tag{4}\end{align*}

を満たすため、式(2)より分極電荷が作る電場\(\boldsymbol E_{\text p}\)は

\begin{align*}\boldsymbol E_{\text p}=-\frac{1}{\epsilon_0}\boldsymbol P\tag{5}\end{align*}

となる。先ほど確認したが、電束密度\(\boldsymbol D\)と分極\(\boldsymbol P\)の定義でベクトルの向きが真逆であるため、式(5)の右辺にマイナスが付いている。

力場である電場\(\boldsymbol E\)は、電束密度が作る電場\(\boldsymbol E_0\)と分極が作る電場\(\boldsymbol E_{\text p}\)との重ね合わせて表現でき、

\begin{align*}\boldsymbol E&=\boldsymbol E_0+\boldsymbol E_{\text p}\\&=\frac{\boldsymbol D-\boldsymbol P}{\epsilon_0}\tag{6}\end{align*}

となる。

式(6)を変形した式

\begin{align*}\boldsymbol D=\epsilon_0\boldsymbol E+\boldsymbol P\tag{7}\end{align*}

を構成方程式といい、源場である電束密度\(\boldsymbol D\)と力場である電場\(\boldsymbol E\)の関係が分極\(\boldsymbol P\)を介して得られることが分かる。

電束密度\(\boldsymbol D\)と電場\(\boldsymbol E\)の関係(前ページを参照)

\begin{align*}\boldsymbol E=\frac{1}{\epsilon}\boldsymbol D\tag{8}\end{align*}

と構成方程式(7)より、次の関係

\begin{align*}\boldsymbol P&=(\epsilon-\epsilon_0)\boldsymbol E\tag{9}\end{align*}

が得られ、電気感受率\(\chi_{\text e}\)

\begin{align*}\chi_{\text e}=\frac{\epsilon-\epsilon_0}{\epsilon_0}\tag{10}\end{align*}

を定義すると

\begin{align*}\boldsymbol P=\chi_{\text e}\epsilon_0\boldsymbol E\tag{11}\end{align*}

と分極\(\boldsymbol P\)が表される。つまり、ある分極\(\boldsymbol P\)が生じたとき、電場\(\boldsymbol E\)との関係は電気感受率\(\chi_{\text e}\)を用いて式(11)で表される。

【前ページ】【次ページ】

HOME ＞電磁気学＞静電場＞構成方程式(電束密度と電場)