【やさしい電磁気学】構成方程式(電束密度と電場)

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本ページでは、構成方程式

\begin{align*}\boldsymbol D=\epsilon_0\boldsymbol E+\boldsymbol P\end{align*}

を求め、源場である電束密度\(\boldsymbol D\)と力場である電場\(\boldsymbol E\)の関係が分極\(\boldsymbol P\)を介して得られることを確認する。

前ページでは、源場である電束密度\(\boldsymbol D\)と力場である電場\(\boldsymbol E\)が誘電率\(\epsilon\)を用いて次の関係

\begin{align*}\boldsymbol E=\frac{1}{\epsilon}\boldsymbol D\end{align*}

があり、特に真空状態では真空の誘電率\(\epsilon_0\)を用いて

\begin{align*}\boldsymbol E_0=\frac{1}{\epsilon_0}\boldsymbol D\end{align*}

となることを見た。

真空状態において、真電荷が作る電束密度\(\boldsymbol D\)と電場\(\boldsymbol E_0\)の関係は

\begin{align*}\boldsymbol E_0=\frac{1}{\epsilon_0}\boldsymbol D\tag{1}\end{align*}

であったため、電荷から出る電束の密度を真空の誘電率\(\epsilon_0\)で割ると電束の密度が作る電場となることが分かる。よって、分極電荷から出る電束の密度である分極\(\boldsymbol P\)を真空の誘電率\(\mu_0\)で割ると分極が作る電場\(\boldsymbol E_p\)

\begin{align*}\boldsymbol E_p=-\frac{1}{\epsilon_0}\boldsymbol P\tag{2}\end{align*}

となる。前ページで確認したが、電束や電束密度\(\boldsymbol D\)、電場\(\boldsymbol E\)は正電荷から負電荷に向かうベクトルであるが、分極\(\boldsymbol P\)は負電荷から正電荷に向かうベクトルであるため、式(2)の右辺に負号が付いている。

力場である電場\(\boldsymbol E\)は、電束密度が作る電場\(\boldsymbol E_0\)と分極が作る電場\(\boldsymbol E_p\)との重ね合わせて表現でき、

\begin{align*}\boldsymbol E&=\boldsymbol E_0+\boldsymbol E_p\\&=\frac{\boldsymbol D-\boldsymbol P}{\epsilon_0}\tag{3}\end{align*}

となる。

式(3)を変形した式

\begin{align*}\boldsymbol D=\epsilon_0\boldsymbol E+\boldsymbol P\tag{4}\end{align*}

を構成方程式といい、源場である電束密度\(\boldsymbol D\)と力場である電場\(\boldsymbol E\)の関係が分極\(\boldsymbol P\)を介して得られることが分かる。

電束密度\(\boldsymbol D\)と電場\(\boldsymbol E\)の関係

\begin{align*}\boldsymbol E_0=\frac{1}{\epsilon}\boldsymbol D\tag{5}\end{align*}

と構成方程式(4)より、次の関係

\begin{align*}\boldsymbol P&=(\epsilon-\epsilon_0)\boldsymbol E\tag{6}\end{align*}

が得られ、電気感受率\(\chi_{\text e}\)

\begin{align*}\chi_{\text e}=\frac{\epsilon-\epsilon_0}{\epsilon_0}\tag{7}\end{align*}

を定義すると

\begin{align*}\boldsymbol P=\chi_{\text e}\epsilon_0\boldsymbol E\tag{8}\end{align*}

と分極\(\boldsymbol P\)が表される。ある分極\(\boldsymbol P\)が生じたとき、電場\(\boldsymbol E\)との関係は電気感受率\(\chi_{\text e}\)を用いて式(8)で表される。

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