【やさしい電磁気学】構成方程式(磁束密度と磁場、E-H対応)

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本ページでは…

本ページでは、構成方程式

\begin{align*}\boldsymbol D=\epsilon_0\boldsymbol E+\boldsymbol P\end{align*}

を求め、源場である電束密度\(\boldsymbol D\)と力場である電場\(\boldsymbol E\)の関係が分極\(\boldsymbol P\)を介して得られることを確認する。

前ページでは、源場である磁場\(\boldsymbol H\)と力場である磁束密度\(\boldsymbol B\)が透磁率\(\mu\)を用いて次の関係

\begin{align*}\boldsymbol B=\mu\boldsymbol H\end{align*}

があり、特に真空状態では真空の透磁率\(\mu_0\)を用いて

\begin{align*}\boldsymbol B_0=\mu_0\boldsymbol H\end{align*}

となることを見た。

E-H対応(以前のページを参照)において、真磁荷が作る磁束密度\(\boldsymbol B\)は、真磁荷の総和\(Q_{\text{mf}}=0\)を用いて次のガウスの法則

\begin{align*}\int_S\boldsymbol B\cdot d\boldsymbol S=0\tag{1}\end{align*}

を満たすように定義されていた。同様に、分極磁荷が作る磁気分極\(\boldsymbol P_{\text m}\)と呼ばれる量を、分極磁荷の総和\(Q_{\text{mb}}\)を用いて次のガウスの法則

\begin{align*}-\int_S\boldsymbol P_{\text m}\cdot d\boldsymbol S=Q_{\text{mb}}\tag{2}\end{align*}

で定義する。磁気分極\(\boldsymbol P_{\text m}\)の単位は磁束密度\(\boldsymbol B\)と同様に\(\text {Wb}\cdot\text m^{-2}\)である。

磁束密度\(\boldsymbol B\)の定義と異なり磁気分極\(\boldsymbol P_{\text m}\)の定義でマイナスが付いている理由については、後のページを参照。

これより、E-H対応(以前のページを参照)における構成方程式を求める。真空状態において、真磁荷が作る磁束密度\(\boldsymbol B\)と磁場\(\boldsymbol H_0\)の関係は

\begin{align*}\boldsymbol H_0=\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol B\tag{3}\end{align*}

であった(前ページを参照)。また、分極磁荷が作る磁場\(\boldsymbol H_{\text p}\)は次のガウスの法則

\begin{align*}\int_S\boldsymbol H_{\text p}\cdot d\boldsymbol S&=\frac{Q_{\text{mb}}}{\mu_0}\tag{4}\end{align*}

を満たす(前々ページを参照)ため、式(2)より分極磁荷が作る磁場\(\boldsymbol H_{\text p}\)は

\begin{align*}\boldsymbol H_{\text p}=-\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol P_{\text m}\tag{5}\end{align*}

となる。先ほど確認したが、磁束密度\(\boldsymbol H\)と磁気分極\(\boldsymbol P_{\text m}\)の定義でベクトルの向きが真逆であるため、式(5)の右辺にマイナスが付いている。

力場である磁場\(\boldsymbol H\)は、磁束密度が作る磁場\(\boldsymbol H_0\)と磁気分極が作る磁場\(\boldsymbol H_{\text p}\)との重ね合わせて表現でき、

\begin{align*}\boldsymbol H&=\boldsymbol H_0+\boldsymbol H_{\text p}\\&=\frac{1}{\mu_0}(\boldsymbol B-\boldsymbol P_{\text m})\tag{6}\end{align*}

となる。

式(6)を変形した式

\begin{align*}\boldsymbol B=\mu_0\boldsymbol H+\boldsymbol P_{\text m}\tag{7}\end{align*}

を構成方程式といい、源場である磁束密度\(\boldsymbol B\)と力場である磁場\(\boldsymbol H\)の関係が磁気分極\(\boldsymbol P_{\text m}\)を介して得られることが分かる。

磁場\(\boldsymbol H\)と磁束密度\(\boldsymbol B\)の関係(前ページを参照)

\begin{align*}\boldsymbol H=\frac{1}{\mu}\boldsymbol B\tag{8}\end{align*}

と構成方程式(7)より、次の関係

\begin{align*}\boldsymbol P_{\text m}&=(\mu-\mu_0)\boldsymbol H\tag{9}\end{align*}

が得られ、磁気感受率(または磁化率)\(\chi_{\text m}\)

\begin{align*}\chi_{\text m}=\frac{\mu-\mu_0}{\mu_0}\tag{10}\end{align*}

を定義すると

\begin{align*}\boldsymbol P_{\text m}=\chi_{\text m}\mu_0\boldsymbol H\tag{11}\end{align*}

と磁気分極\(\boldsymbol P_{\text m}\)が表される。つまり、ある磁気分極\(\boldsymbol P_{\text m}\)が生じたとき、磁場\(\boldsymbol H\)との関係は磁気感受率\(\chi_{\text m}\)を用いて式(11)で表される。

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