【やさしい電磁気学】クーロンの法則(静電場)

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本ページでは、クーロンの法則が

\begin{align*}\boldsymbol F=\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0}\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol r_0}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol r_0\vert^3}\end{align*}

であることを確認し、電束密度\(\boldsymbol D\)と電場\(\boldsymbol E\)の定義

\begin{align*}\int_S\boldsymbol D\cdot d\boldsymbol S&=Q\\\boldsymbol F&=q\boldsymbol E\end{align*}

から導かれることをみる。

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クーロンの法則(静電場)

1785年にクーロンは、真空中において\(r\)の距離に電荷量\(q\)の電荷と電荷量\(Q\)の電荷を置いたときに働く力が電荷量\(q\)と\(Q\)の積に比例して距離\(r\)の2乗に反比例する法則を見つけた。この法則を真空の誘電率\(\epsilon_0\)を用いて表すと

\begin{align*}F=\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0r^2}\tag{1}\end{align*}

となり、これをクーロンの法則と呼び、力\(F\)をクーロン力(または静電気力)と呼ぶ。ここで、電荷量\(q\)と\(Q\)の積が正の値ならクーロン力は斥力となり、負の値ならクーロン力は引力となる。

式(1)はベクトルで表すことができる。電荷量\(q\)の電荷が\(\boldsymbol r\)の位置にあり、電荷量\(Q\)の電荷が\(\boldsymbol r_0\)の位置にあるとき、電荷間の距離\(r\)は\(\vert \boldsymbol r-\boldsymbol r_0\vert\)となる。また、クーロン力\(\boldsymbol F\)の向きは2つの電荷を結んだ直線\(\boldsymbol r-\boldsymbol r_0\)の向きと等しいため、力\(\boldsymbol F\)の向きを表す方向単位ベクトルは\(\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol r_0}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol r_0\vert}\)となる。よって、電荷量\(q\)の電荷が受けるクーロン力は

\begin{align*}\boldsymbol F=\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0}\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol r_0}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol r_0\vert^3}\tag{2}\end{align*}

となる。

電束密度と電場からの導出

電束密度\(\boldsymbol D\)はガウスの法則

\begin{align*}\int_S\boldsymbol D\cdot d\boldsymbol S=Q_{\text f}\tag{3}\end{align*}

で定義され(以前のページを参照)、電場\(\boldsymbol E\)は次式

\begin{align*}\boldsymbol F=q\boldsymbol E\tag{4}\end{align*}

で定義されていた(以前のページを参照)が、このように定義した理由は実験で確かめられていたクーロンの法則が導かれるようにするためである。

電荷量\(q\)の電荷が\(\boldsymbol r\)の位置にあり、電荷量\(Q\)の電荷(真電荷であり、式(3)の\(Q_{\text f}\)に相当する)が\(\boldsymbol r_0\)の位置にあるとき、電荷量\(q\)の電荷が受けるクーロンの力を電束密度\(\boldsymbol D\)の定義と電場\(\boldsymbol E\)の定義から求めてみる。

源場と力場の考え(以前のページを参照)を用いると、「①\(\boldsymbol r_0\)の位置にある電荷量\(Q\)の電荷(真電荷)が源場である電束密度\(\boldsymbol D\)を作る」、｢②源場から力場が生じる｣、「③力場である電場\(\boldsymbol E\)が\(\boldsymbol r\)の位置にある電荷量\(q\)の電荷に力を与える」という3ステップで力が働く。

ステップ①において、電束密度\(\boldsymbol D\)の定義(以前のページを参照)から

\begin{align*}\int_S\boldsymbol D\cdot d\boldsymbol S=Q\tag{5}\end{align*}

が成り立つ。ここで、閉曲面\(S\)として、電荷量\(Q\)の電荷の位置\(\boldsymbol r_0\)が中心で電荷量\(q\)の電荷の位置\(\boldsymbol r\)を通る球表面を考える。電荷から電束は放射線状に出るため、閉曲面上の位置\(\boldsymbol r’\)において電束密度\(\boldsymbol D\)の向きと面積素\(d\boldsymbol S\)の向き(微小面積\(dS\)の法線の向き)は同じ\(\frac{\boldsymbol r’-\boldsymbol r_0}{\vert \boldsymbol r’-\boldsymbol r_0\vert}\)であり、

\begin{align*}\boldsymbol D\cdot d\boldsymbol S&=DdS\cos0°\\&=DdS\end{align*}

が成り立ち、位置\(\boldsymbol r\)での電束密度の大きさ\(D\)は

\begin{align*}\int_S D\ d S=&Q\\\rightarrow D\int_S d S=&Q\\\rightarrow D=&\frac{Q}{4\pi\vert\boldsymbol r-\boldsymbol r_0\vert^2}\tag{6}\end{align*}

途中式

3行目への変形では、閉曲面\(S\)の総面積

\begin{align*}\int_S dS=4\pi\vert\boldsymbol r-\boldsymbol r_0\vert^2\end{align*}

を用いた。

となる。よって、電荷量\(q\)の電荷の位置\(\boldsymbol r\)における電束密度\(\boldsymbol D\)は、式(6)に向き\(\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol r_0}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol r_0\vert}\)を掛けて

\begin{align*}\boldsymbol D=\frac{Q}{4\pi}\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol r_0}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol r_0\vert^3}\tag{7}\end{align*}

と求められる。

ステップ②において、真空中での電束密度\(\boldsymbol D\)と電場\(\boldsymbol E\)の関係(以前のページを参照)は

\begin{align*}\boldsymbol E=\frac{1}{\epsilon_0}\boldsymbol D\tag{8}\end{align*}

であるため、電荷量\(q\)の電荷の位置における電場\(\boldsymbol E\)は

\begin{align*}\boldsymbol E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol r_0}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol r_0\vert^3}\tag{9}\end{align*}

と求められる。

ステップ③において、電荷に働く力\(\boldsymbol F\)と電場\(\boldsymbol E\)の関係(以前のページを参照)は

\begin{align*}\boldsymbol F=q\boldsymbol E\tag{10}\end{align*}

であるため、電荷量\(q\)の電荷に働く力\(\boldsymbol F\)は

\begin{align*}\boldsymbol F=\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0}\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol r_0}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol r_0\vert^3}\tag{2}\end{align*}

となって、クーロンの法則が導かれる。

誘電体におけるクーロンの法則

前節のステップ②において、誘電体が存在するときの電束密度\(\boldsymbol D\)と電場\(\boldsymbol E\)の関係は

\begin{align*}\boldsymbol E=\frac{1}{\epsilon}\boldsymbol D\tag{11}\end{align*}

であるため、誘電体が存在するときのクーロンの法則は

\begin{align*}\boldsymbol F=\frac{qQ}{4\pi\epsilon}\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol r_0}{\vert \boldsymbol r-\boldsymbol r_0\vert^3}\tag{12}\end{align*}

となる。

次ページから…

次ページでは、電気双極子モーメント\(\boldsymbol p\)が

\begin{align*}\boldsymbol p=q\boldsymbol d\end{align*}

であることをみて、電気双極子のエネルギー\(U\)が

\begin{align*}U&=-\boldsymbol p\cdot\boldsymbol E\end{align*}

となり、電気双極子がつくる電場\(\boldsymbol E\)が

\begin{align*}\boldsymbol E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0\vert\boldsymbol r\vert^3}\left(-\boldsymbol p+\frac{3(\boldsymbol r\cdot\boldsymbol p)\boldsymbol r}{\vert\boldsymbol r\vert^2}\right)\end{align*}

となることを求める。

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