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本ページでは、電気スカラーポテンシャル\(\phi\)と磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)の定義式
\begin{align*}\boldsymbol B&=\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A\\\boldsymbol E&=-\boldsymbol\nabla \phi-\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\end{align*}
が、電磁場テンソル\(F^{\mu\nu}\)の定義式
\begin{align*}F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu\end{align*}
の1つにまとめられることをみる。
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前ページでは、次のように定義
\begin{align*}\boldsymbol B&=\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A\\\boldsymbol E&=-\boldsymbol\nabla \phi-\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\end{align*}
された電気スカラーポテンシャル\(\phi\)と磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)の組み合わせからなる4元ベクトル場
\begin{align*}A^\mu&=(\phi/c,\boldsymbol A)\\&=(A^0,A^1,A^2,A^3)\end{align*}
のゲージ場(または単に電磁ポテンシャル)について調べた。
内容
電磁場テンソルとは
電気スカラーポテンシャル\(\phi\)と磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)の定義式
\begin{align*}\boldsymbol B&=\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A\tag{1}\\\boldsymbol E&=-\boldsymbol\nabla \phi-\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\tag{2}\end{align*}
を微分ベクトル(以前のページを参照)を用いて成分ごとに表すと
\begin{align*}B^1&=\partial^3A^2-\partial^2A^3\\B^2&=\partial^1A^3-\partial^3A^1\\B^3&=\partial^2A^1-\partial^1A^2\\E^1/c&=\partial^1A^0-\partial^0A^1\\E^2/c&=\partial^2A^0-\partial^0A^2\\E^3/c&=\partial^3A^0-\partial^0A^3\end{align*}
ここで、電場\(\boldsymbol E\)と磁束密度\(\boldsymbol B\)と磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)の各空間成分は以下である。
\begin{align*}\boldsymbol B&=(B^1,B^2,B^3)\\\boldsymbol E&=(E^1,E^2,E^3)\\\boldsymbol A&=(A^1,A^2,A^3)\end{align*}
また、微分ベクトルの表記は次の通りである。
\begin{align*}\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial x^0}=\partial_0=\partial^0\\\frac{\partial}{\partial x}&=\frac{\partial}{\partial x^1}=\partial_1=-\partial^1\\\frac{\partial}{\partial y}&=\frac{\partial}{\partial x^2}=\partial_2=-\partial^2\\\frac{\partial}{\partial z}&=\frac{\partial}{\partial x^3}=\partial_3=-\partial^3\end{align*}
となって、何やら規則性があるように伺える。そこで、次の定義
\begin{align*}F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu\tag{3}\end{align*}
を満たす電磁場テンソル\(F^{\mu\nu}\)を導入すれば、電気スカラーポテンシャル\(\phi\)と磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)の定義式(1)と(2)をこの式1つにまとめることができる。
電磁場テンソル\(F^{\mu\nu}\)の定義式(3)の添え字\(\mu\)と\(\nu\)を入れ替えると
\begin{align*}F^{\nu\mu}&=\partial^\nu A^\mu-\partial^\nu A^\nu\\&=-F^{\mu\nu}\tag{4}\end{align*}
となり、電磁場テンソル\(F^{\mu\nu}\)は反対称性を持つことがわかる。電磁場テンソル\(F^{\mu\nu}\)の具体的な値は
\begin{align*}F^{00}&=-F^{00}=0\\F^{11}&=-F^{11}=0\\F^{22}&=-F^{22}=0\\F^{33}&=-F^{33}=0\\F^{32}&=-F^{23}=\partial^3A^2-\partial^2A^3=B^1\\F^{13}&=-F^{31}=\partial^1A^3-\partial^3A^1=B^2\\F^{21}&=-F^{12}=\partial^2A^1-\partial^1A^2=B^3\\F^{10}&=-F^{01}=\partial^1A^0-\partial^0A^1=E^1/c\\F^{20}&=-F^{02}=\partial^2A^0-\partial^0A^2=E^2/c\\F^{30}&=-F^{03}=\partial^3A^0-\partial^0A^3=E^3/c\end{align*}
であり、視覚的にわかりやすく表現するために行列表現すると以下となる。
\begin{align*}\boldsymbol F=\left(\begin{array}{c}0&-E^1/c&-E^2/c&-E^3/c\\E^1/c&0&-B^3&B^2\\E^2/c&B^3&0&-B^1\\E^3/c&-B^2&B^1&0\end{array}\right)\tag{5}\end{align*}
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