微分ベクトル

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 本ページでは、成分に時空座標の微分を持つ微分ベクトルが共変性を持つか反変性を持つかを調べ、微分ベクトルから作られるダランベール演算子について見てみる。

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前ページでは、成分にエネルギーと運動量を持つエネルギー運動量ベクトルを調べ、エネルギー運動量ベクトルを用いるとアインシュタインの関係式をシンプルに記載できることを確かめた。

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内容

微分ベクトル

 次のように、成分に時空座標の微分を持つ共変ベクトル\(\partial_{\mu}\)および反変ベクトル\(\partial^{\mu}\)を微分ベクトルと呼ぶ。

\begin{align}\partial_{\mu}&=\frac{\partial}{\partial x^\mu}\\&=\left(\frac{\partial}{\partial x^0},\frac{\partial}{\partial x^1},\frac{\partial}{\partial x^2},\frac{\partial}{\partial x^3}\right)\\&=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)\tag{1}\\\partial^{\mu}&=\frac{\partial}{\partial x_\mu}\\&=\left(\frac{\partial}{\partial x_0},\frac{\partial}{\partial x_1},\frac{\partial}{\partial x_2},\frac{\partial}{\partial x_3}\right)\\&=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},-\frac{\partial}{\partial x},-\frac{\partial}{\partial y},-\frac{\partial}{\partial z}\right)\tag{2}\end{align}

ここで、微小変化を表す反変ベクトル\(dx^\mu\)と共変ベクトル\(dx_\mu\)は座標成分のみ符号が逆になっていたこと

\begin{align}dx^{\mu}&=(dx^0,dx^1,dx^2,dx^3)\\&=(cdt,dx,dy,dz)\tag{3}\\dx_{\mu}&=(dx_0,dx_1,dx_2,dx_3)\\&=(cdt,-dx,-dy,-dz)\tag{4}\end{align}

を思い出すと、今回の微分ベクトルの反変ベクトル\(\partial^\mu\)と共変ベクトル\(\partial_\mu\)においても座標成分のみ符号が逆になっているが、これは微小変化の関係性に起因する。

微分ベクトルの変換性

 微分ベクトル\(\partial_\mu\)には反変ベクトルの\(dx^\mu\)が現れているが共変ベクトルであり、微分ベクトル\(\partial^\mu\)には共変ベクトルの\(dx_\mu\)が現れているが反変ベクトルであることに注意する。

 微分ベクトル\(\partial^\mu\),\(\partial_\mu\)が共変ベクトルか反変ベクトルかは次のように確かめることができる。まず、連鎖律と次の慣性系変換

\begin{align*}x’^\rho&=\varLambda^\rho{}_\gamma x^\gamma+a^\rho\tag{5}\\x’_\rho&= x_\gamma(\varLambda^{-1})^\gamma{}_\rho+a_\rho\tag{6}\end{align*}

を用いて次の量を計算する。

\begin{align*}\partial_\mu&=\frac{\partial}{\partial x^\mu}\\&=\frac{\partial x’^\rho}{\partial x^\mu}\frac{\partial}{\partial x’^\rho}\\&=\frac{\partial (\varLambda^\rho{}_\gamma x^\gamma+a^\rho)}{\partial x^\mu}\frac{\partial}{\partial x’^\rho}\\&=\varLambda^\rho{}_\gamma\delta^\gamma{}_\mu\frac{\partial}{\partial x’^\rho}\\&=\varLambda^\rho{}_\mu\frac{\partial}{\partial x’^\rho}\\&=\varLambda^\rho{}_\mu\partial’^\rho\tag{7}\end{align*}

\begin{align*}\partial^\mu&=\frac{\partial}{\partial x_\mu}\\&=\frac{\partial x’_\rho}{\partial x_\mu}\frac{\partial}{\partial x’_\rho}\\&=\frac{\partial (x_\gamma(\varLambda^{-1})^\gamma{}_\rho+a_\rho)}{\partial x_\mu}\frac{\partial}{\partial x’_\rho}\\&=\delta^\mu{}_\gamma(\varLambda^{-1})^\gamma{}_\rho\frac{\partial}{\partial x’_\rho}\\&=(\varLambda^{-1})^\mu{}_\rho\frac{\partial}{\partial x’_\rho}\\&=(\varLambda^{-1})^\mu{}_\rho\partial’^\rho\tag{8}\end{align*}

※※※式(7)と式(8)において、2つ目の等号では連鎖律を用い、3つ目の等号では慣性系の変換を用い、4つ目の変換では偏微分をクロネッカーのデルタで表した次の関係性

\begin{align*}\frac{\partial x^\gamma}{\partial x^\mu}&=\delta^\gamma{}_\mu\tag{9}\\\frac{\partial x_\gamma}{\partial x_\mu}&=\delta^\mu{}_\gamma\tag{10}\end{align*}

を用いた。※※※

次に、式(7)と式(8)の両辺にそれぞれ\((\varLambda^{-1})^\mu{}_\nu\),\(\varLambda^\nu{}_\mu\)を掛けると

\begin{align*}\partial_\mu(\varLambda^{-1})^\mu{}_\nu&=\varLambda^\rho{}_\mu(\varLambda^{-1})^\mu{}_\nu\partial’_\rho\\&=\delta^\rho{}_\nu\partial’_\rho\\&=\partial’_\nu\\\rightarrow\partial’_\nu&=\partial _\mu(\varLambda^{-1})^\mu{}_\nu\tag{11}\end{align*}

\begin{align*}\varLambda^\nu{}_\mu\partial ^\mu&=\varLambda^\nu{}_\mu(\varLambda^{-1})^\mu{}_\rho\partial’^\rho\\&=\delta^\nu{}_\rho\partial’^\rho\\&=\partial’^\nu\\\rightarrow\partial’^\nu&=\varLambda^\nu{}_\mu\partial ^\mu\tag{12}\end{align*}

となり、微分ベクトル\(\partial_\mu\)は反変ベクトルの変換性を、微分ベクトル\(\partial^\mu\)は共変ベクトルの変換性を持つことが分かる。

ダランベール演算子

 微分ベクトルから作られる次のスカラー量をダランベール演算子(またはダランベルシアン)と呼び、\(\Box\)で表す。

\begin{align*}\Box&=\partial_\mu\partial^\mu\\&=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}-\frac{\partial^2}{\partial y^2}-\frac{\partial^2}{\partial z^2}\tag{13}\end{align*}


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