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本ページでは、マクスウェル方程式から電磁波の波動方程式
\begin{align*}\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \boldsymbol E}{\partial t^2}-\boldsymbol \nabla^2\boldsymbol E&=\boldsymbol0\\\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \boldsymbol H}{\partial t^2}-\boldsymbol \nabla^2\boldsymbol H&=\boldsymbol0\end{align*}
を導く。
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前ページでは、電磁場中で運動する荷電粒子が受けるローレンツ力
\begin{align*}\boldsymbol F=q\boldsymbol E+q\boldsymbol v×\boldsymbol B\end{align*}
について調べた。
内容
電磁波の波動方程式とは
真空中においてマクスウェル方程式から導かれる次の2式
\begin{align*}\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \boldsymbol E}{\partial t^2}-\boldsymbol \nabla^2\boldsymbol E&=\boldsymbol0\tag{1}\\\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \boldsymbol H}{\partial t^2}-\boldsymbol \nabla^2\boldsymbol H&=\boldsymbol0\tag{2}\end{align*}
を電磁波の波動方程式という。速度が\(v\)の波動\(\varPsi\)は次の波動方程式
\begin{align*}\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \varPsi}{\partial t^2}-\boldsymbol \nabla^2\varPsi&=0\tag{3}\end{align*}
に従う(以前のページを参照)ため、電場や磁場は真空中では波のように振る舞うと考えられ、空間を伝わっていく電場と磁場の波を電磁波と呼ぶ。式(1),(2)と式(3)を比較すると、その電磁波の速さは\(1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\)であり、この値は光の速さ\(c\)と一致したことから、光も電磁波ではないかとマクスウェルは予測し、ヘルツによって証明された。
電磁波は常に電場と磁場がセットで伝播しており、変化する電場からは変化する磁場がアンペール-マクスウェルの式に従って生まれ、変化する磁場からは変化する電場がファラデー-マクスウェルの式に従って生まれるサイクルが繰り返される。そのため、電場と磁場は互いに垂直となり、位相も一致した波となる。
電磁波の波動方程式の導出
マクスウェル方程式
\begin{align*}\boldsymbol \nabla \cdot\boldsymbol B&=0\tag{4}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E&=-\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t}\tag{5}\\\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol D&=\rho\tag{6}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H&=\boldsymbol j+\frac{\partial \boldsymbol D}{\partial t}\tag{7}\end{align*}
と構成方程式
\begin{align*}\boldsymbol E&=\frac{1}{\epsilon_0}(\boldsymbol D-\boldsymbol P)\tag{8}\\\boldsymbol B&=\mu_0(\boldsymbol H+\boldsymbol M)\tag{9}\end{align*}
から、電磁波の波動方程式
\begin{align*}\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \boldsymbol E}{\partial t^2}-\boldsymbol \nabla^2\boldsymbol E&=\boldsymbol0\tag{1}\\\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \boldsymbol H}{\partial t^2}-\boldsymbol \nabla^2\boldsymbol H&=\boldsymbol0\tag{2}\end{align*}
を導出する。
自由電荷も自由電流も存在しない真空中では、マクスウェル方程式は
\begin{align*}\boldsymbol \nabla \cdot\boldsymbol B&=0\tag{4}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E&=-\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t}\tag{5}\\\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol D&=0\tag{10}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H&=\frac{\partial \boldsymbol D}{\partial t}\tag{11}\end{align*}
であり、構成方程式は
\begin{align*}\boldsymbol E&=\frac{1}{\epsilon_0}\boldsymbol D\tag{12}\\\boldsymbol B&=\mu_0\boldsymbol H\tag{13}\end{align*}
である。この構成方程式を用いて電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol H\)だけでマクスウェル方程式を表すと
\begin{align*}\boldsymbol \nabla \cdot\boldsymbol H&=0\tag{14}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E&=-\mu_0\frac{\partial \boldsymbol H}{\partial t}\tag{15}\\\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol E&=0\tag{16}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H&=\epsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t}\tag{17}\end{align*}
となり、式(15)と式(17)の両辺に回転演算子を掛けると次の2式を得る。
\begin{align*}\boldsymbol\nabla×(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E)&=-\mu_0\boldsymbol\nabla×\frac{\partial \boldsymbol H}{\partial t}\\&=-\mu_0\frac{\partial}{\partial t}(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H)\\&=-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \boldsymbol E}{\partial t^2}\tag{18}\\\boldsymbol\nabla×(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H)&=\epsilon_0\boldsymbol\nabla×\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t}\\&=-\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E)\\&=-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \boldsymbol H}{\partial t^2}\tag{19}\end{align*}
ここで、回転ベクトル場の回転の公式(以前のページを参照)
\begin{align*}\boldsymbol\nabla×(\boldsymbol \nabla×\boldsymbol f)=\boldsymbol\nabla(\boldsymbol \nabla\cdot\boldsymbol f)-\boldsymbol\nabla\cdot(\boldsymbol\nabla \boldsymbol f)\tag{20}\end{align*}
を用いると、電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol H\)に関しては
\begin{align*}\boldsymbol\nabla×(\boldsymbol \nabla×\boldsymbol E)&=\boldsymbol\nabla(\boldsymbol \nabla\cdot\boldsymbol E)-\boldsymbol\nabla\cdot(\boldsymbol\nabla \boldsymbol E)\\&=-\boldsymbol\nabla\cdot(\boldsymbol\nabla \boldsymbol E)\tag{21}\\\boldsymbol\nabla×(\boldsymbol \nabla×\boldsymbol H)&=\boldsymbol\nabla(\boldsymbol \nabla\cdot\boldsymbol H)-\boldsymbol\nabla\cdot(\boldsymbol\nabla \boldsymbol H)\\&=-\boldsymbol\nabla\cdot(\boldsymbol\nabla \boldsymbol H)\tag{22}\end{align*}
となり、式(21)と式(22)を式(18)と式(19)に代入すると電磁波の波動方程式が得られる。
\begin{align*}\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \boldsymbol E}{\partial t^2}-\boldsymbol \nabla^2\boldsymbol E&=\boldsymbol0\tag{1}\\\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \boldsymbol H}{\partial t^2}-\boldsymbol \nabla^2\boldsymbol H&=\boldsymbol0\tag{2}\end{align*}
実験結果より、\(\mu_0\epsilon_0\)は\(1/c^2\)に等しいため電磁波の波動方程式は
\begin{align*}\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \boldsymbol E}{\partial t^2}-\boldsymbol \nabla^2\boldsymbol E&=\boldsymbol0\tag{23}\\\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \boldsymbol H}{\partial t^2}-\boldsymbol \nabla^2\boldsymbol H&=\boldsymbol0\tag{24}\end{align*}
となる。蛇足だが、もしダランベルシアン
\begin{align*}\Box=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}-\boldsymbol \nabla^2\end{align*}
を用いて式(23)と式(24)を表すと
\begin{align*}\Box \boldsymbol E&=\boldsymbol0\tag{25}\\\Box \boldsymbol H&=\boldsymbol0\tag{26}\end{align*}
となる。
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