波動方程式

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本ページでは…

 本ページでは、速さ\(u\)の実数平面波の式から出発し、平面波に限らず、速さ\(u\)のどのような波動(球面波など)でも従う波動方程式を導出する。

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前ページでは、3次元の実数平面波を見た。

\begin{align*}\varPsi(q,t)&=a\cos\left(\boldsymbol k\cdot\boldsymbol q-\omega t+\delta\right)\\&=a\cos\left(k_{\scriptsize x} x+k_{\scriptsize y} y+k_{\scriptsize z} z-\omega t+\delta\right)\tag{1}\end{align*}

\(a\)は振幅で、\(\boldsymbol k\)は波数ベクトル、\(\omega\)は角振動数、\(\delta\)は位相項である。また、\(\boldsymbol q\)は3次元における位置ベクトルであり、波数ベクトル\(\boldsymbol k\)は「大きさ」が波の波数\(k\)で「方向」が波の進行方向である。そして、\(k_{\scriptsize x}\)、\(k_{\scriptsize y}\)、\(k_{\scriptsize z}\)は波数ベクトル\(\boldsymbol k\)の\(x\)、\(y\)、\(z\)成分である。

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内容

波動方程式とは

 平面波に限らず、速さ\(u\)のどのような波動(球面波など)でも従う式を波動方程式といい、実数平面波の式から導くことができる。

波動方程式の導出

 初めに、実数平面波の式(1)を座標で2階偏微分してみると、平面波\(\varPsi\)の中から波数\(k\)が出てくることが分かる。

\begin{align*}\Delta \varPsi&=-(k_{\scriptsize x}^2+k_{\scriptsize y}^2+k_{\scriptsize z}^2)\varPsi\\&=-k^2\varPsi\tag{2}\end{align*}

ここで、\(\Delta\)はラプラシアンと呼ばれ、

\begin{align*}\Delta=\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2}\tag{4}\end{align*}

と定義され、次のナブラ\(\nabla\)

\begin{align*}\nabla=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)\tag{5}\end{align*}

を用いると、ラプラシアン\(\Delta\)は

\begin{align*}\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2\tag{6}\end{align*}

のようにナブラ\(\nabla\)の内積の形で表せる。

 次に、実数平面波の式(1)を時間で2階偏微分してみると、平面波\(\varPsi\)の中から角振動数\(\omega\)が出てくることが分かる。

\begin{align*}\frac{\partial^2 \varPsi}{\partial t^2}=-\omega^2\varPsi\tag{7}\end{align*}

 関係式(7)に、式(2)を変形した次の関係式

\begin{align*}\varPsi=-\frac{1}{k^2}\Delta\varPsi\tag{8}\end{align*}

を代入すると

\begin{align*}\frac{\partial^2 \varPsi}{\partial t^2}&=\frac{\omega^2}{k^2}\Delta\varPsi\\&=u^2\Delta\varPsi\tag{9}\end{align*}

が得られる。

※※※2行目への変形ではでは、波の速さを表す式

\begin{align*}\nu\lambda=u\tag{10}\end{align*}

を次のように変形

\begin{align*}2\pi\nu=\frac{2\pi}{\lambda}u\tag{11}\end{align*}

して導かれる次の関係式

\begin{align*}\omega=ku\tag{12}\end{align*}

を用いた。※※※

この式(9)が波動方程式であり、実数平面波から導いたが、速さ\(u\)であれば平面波以外の波動(球面波など)でもこの式を満たす。

次ページから⋯

次ページでは、波動方程式(9)に従う複素平面波の式を、速さ\(u\)の実数平面波の式から導出する。


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