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本ページでは、ラグランジアン\(L(q,\dot{q},t)\)に\(q\)と\(t\)からなる関数\(W(q,t)\)の時間微分を足した等価ラグランジアン\(L’\)
\begin{align}L'(q,\dot{q},t)&=L(q,\dot{q},t)+\frac{\text{d} W}{\text{d} t}\end{align}
もラグランジアン\(L\)と同じ運動方程式を導くことを確かめる。
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前ページでは、ラグランジュの運動方程式
\begin{align}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\scriptsize i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{\scriptsize i}}=0\tag{1}\end{align}
を求め、保存力を受けているときのラグランジアン\(L\)は運動エネルギー\(T\)とポテンシャルエネルギー\(V\)を用いて
\begin{align}L=T-V\tag{2}\end{align}
と表せることを見た。
内容
等価ラグランジアン
式(2)のラグランジアン\(L\)はラグランジュの運動方程式(1)を満たすが、式(2)以外のラグランジアン\(L’\)でもラグランジュの運動方程式を満たすことがある。このように、ラグランジアン\(L\)と形が異なるが、同じ運動方程式を導くラグランジアン\(L’\)を等価ラグランジアンと呼ぶ。
代表的な等価ラグランジアン
等価ラグランジアン\(L’\)には様々な形があるが、代表的な等価ラグランジアンとして、ラグランジアン\(L(q,\dot{q},t)\)に\(q\)と\(t\)からなる関数\(W(q,t)\)の時間微分を足した次の形がある。
\begin{align}L'(q,\dot{q},t)&=L(q,\dot{q},t)+\frac{\text{d} W}{\text{d} t}\tag{3}\end{align}
この等価ラグランジアンも次のようにラグランジュの運動方程式を満たす。
\begin{align}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L’}{\partial \dot{q}_{\scriptsize i}}-\frac{\partial L’}{\partial q_{\scriptsize i}}=0\tag{4}\end{align}
以上のことは、等価ラグランジアンの式(3)をラグランジュの運動方程式(4)の左辺に代入すればわかる。実際に代入すると
\begin{align}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L’}{\partial \dot{q}_{\scriptsize i}}-\frac{\partial L’}{\partial q_{\scriptsize i}}&=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\scriptsize i}}+\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial }{\partial \dot{q}_{\scriptsize i}}\frac{\text{d} W}{\text{d} t}-\frac{\partial L}{\partial q_{\scriptsize i}}-\frac{\partial }{\partial q_{\scriptsize i}}\frac{\text{d} W}{\text{d} t}\\&=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial }{\partial \dot{q}_{\scriptsize i}}\frac{\text{d} W}{\text{d} t}-\frac{\partial }{\partial q_{\scriptsize i}}\frac{\text{d} W}{\text{d} t}\\&=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial }{\partial \dot{q}_{\scriptsize i}}\left(\frac{\partial W}{\partial q_{\scriptsize i}}\dot{q}_{\scriptsize i}+\frac{\partial W}{\partial t}\right)-\frac{\partial }{\partial q_{\scriptsize i}}\left(\frac{\partial W}{\partial q_{\scriptsize i}}\dot{q}_{\scriptsize i}+\frac{\partial W}{\partial t}\right)\\&=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial W}{\partial q_{\scriptsize i}}-\frac{\partial^2 W}{\partial q_{\scriptsize i}^2}\dot{q}_{\scriptsize i}-\frac{\partial }{\partial q_{\scriptsize i}}\frac{\partial W}{\partial t}\\&=\left(\frac{\partial^2 W}{\partial q_{\scriptsize i}^2}\dot{q}_{\scriptsize i}+\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial W}{\partial q_{\scriptsize i}}\right)-\frac{\partial^2 W}{\partial q_{\scriptsize i}^2}\frac{\text{d}q_{\scriptsize i}}{\text{d}t}-\frac{\partial }{\partial q_{\scriptsize i}}\frac{\partial W}{\partial t}=0\tag{5}\end{align}
となって、等価ラグランジアン\(L’\)でもラグランジュの運動方程式(4)が成り立つことがわかる。
※※※2番目の等号では、ラグランジュの運動方程式(1)を用い、3番目の等号では次の微分公式
\begin{align}\frac{\text{d} W}{\text{d} t}&=\frac{\partial W}{\partial q_{\scriptsize i}}\frac{\text{d} q_{\scriptsize i}}{\text{d} t}+\frac{\partial W}{\partial t}\\&=\frac{\partial W}{\partial q_{\scriptsize i}}\dot q_{\scriptsize i}+\frac{\partial W}{\partial t}\tag{6}\end{align}
を用い、4番目の等号では任意の関数\(W(q,t)\)が一般化速度\(\dot q_{\scriptsize i}\)に依存していないことを用い、5番目の等号では、次の微分公式
\begin{align}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial W}{\partial q_{\scriptsize i}} =\frac{\partial^2 W}{\partial q_{\scriptsize i}^2}\frac{\text{d} q_{\scriptsize i}}{\text{d} t}+\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial W}{\partial q_{\scriptsize i}}\tag{7}\end{align}
を用いた。※※※
次ページから…
次ページでは、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)が時間\(t\)と場\(\phi\)、そして、場の時空微分\(\partial_\mu\phi\)から成り立つと仮定し、ラグランジアン密度の時空積分である作用積分\(S\)に作用原理を施すことによってラグランジュの運動方程式
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\phi}=0\end{align}
を求める。
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