ラグランジュの運動方程式

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本ページでは…

 本ページでは、ラグランジアン\(L\)が時間\(t\)と一般化座標\(q_{\scriptsize i}\)、一般化速度\(\dot{q_{\scriptsize i}}\)から成り立つと仮定し、ラグランジアンの時間積分である作用積分\(S\)に作用原理を施すことによってラグランジュの運動方程式を求める。また、保存力を受けているラグランジアン\(L\)の具体的な形を求める。

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前ページでは、保存力を受けているニュートンの運動方程式を変形し、ラグランジュ方程式に似ている次の式を導いた。

\begin{align}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{\scriptsize i}}+\frac{\partial V}{\partial x_{\scriptsize i}}=0\tag{1}\end{align}

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内容

ラグランジアンと作用積分

 保存力を受けているニュートンの運動方程式を変形した式(1)はデカルト座標\(x_i\)と速度\(\dot{x_i}\)から成り立っており、デカルト座標\(x_i\)と速度\(\dot{x_i}\)は時間\(t\)で表せるため、運動方程式から導かれるすべての式は時間\(t\)の関数で表せることになる。

 そこで、ある運動方程式に従う粒子の運動において、時間\(t\)に対してラグランジアン\(L\)というラベルを付けてみる。そして、時間の始まり\(t=-\infty\)から時間の終わり\(t=\infty\)までのラグランジアン\(L\)を足した値として作用積分 \(S\)

\begin{align}S=\int_{-\infty}^{\infty} \text{d}t\ L\tag{13}\end{align}

を定義する。現実の運動方程式に限らず、人間が考えた妄想の運動方程式を含むすべての運動方程式にはある値の作用積分\(S\)があるということだ。

 次に、ラグランジアン\(L\)の定義を考える。保存力を受けているニュートンの運動方程式を変形した式(1)はデカルト座標\(x_i\)と速度\(\dot{x_i}\)から成り立っているが、受けている力が保存力ではないときはこれらに追加で時間\(t\)が加わる。そのため、あらゆる運動方程式はデカルト座標\(x_i\)と速度\(\dot{x_i}\)、時間\(t\)から成り立っていると予測でき、ラグランジアン\(L\)もデカルト座標\(x_i\)と速度\(\dot{x_i}\)、\(t\)で表したくなる。しかし、座標の取り方は千差万別であるため、ラベルであるラグランジアンを定義する際にデカルト座標にこだわる必要はなく、全空間をカバーできている座標系であればどのような座標系でも構わない。そこで、デカルト座標に限定せず、任意の座標である一般化座標\(q_{\scriptsize i}\)と一般化座標の時間微分である一般化速度\(\dot{q_{\scriptsize i}}\)、そして、時間\(t\)でラグランジアンを表すことにする。

\begin{align}L(q,\dot{q},t)\tag{2}\end{align}

デカルト座標\(x_i\)や速度\(\dot{x_{\scriptsize i}}\)と同様、一般化座標\(q_{\scriptsize i}\)と一般化速度\(\dot{q_{\scriptsize i}}\)も時間\(t\)の関数である。また、デカルト座標系での一般化速度\(\dot{q_{\scriptsize i}}\)は速度\(\dot{x_{\scriptsize i}}\)と等しいが、他の座標系では一般化速度\(\dot{q_{\scriptsize i}}\)は速度\(\dot{x_{\scriptsize i}}\)と等しいとは限らない。

作用原理

 作用積分の境界条件としては、初状態\(t=-\infty\)と終状態\(t=\infty\)であらゆる運動方程式A、B、…での一般化座標は同じとする。式で表すと

\begin{align}q^A{}_{\scriptsize i}(t)|_{\scriptsize {t\rightarrow-\infty}}=q^B{}_{\scriptsize i}(t)|_{\scriptsize {t\rightarrow-\infty}}=\cdots\tag{3}\end{align}

\begin{align}q^A{}_{\scriptsize i}(t)|_{\scriptsize {t\rightarrow+\infty}}=q^B{}_{\scriptsize i}(t)|_{\scriptsize {t\rightarrow+\infty}}=\cdots\tag{4}\end{align}

であり、ある運動方程式の一般化座標と別の運動方程式の一般化座標の差を用いると

\begin{align}\delta q_{\scriptsize i}(t)|_{\scriptsize {t\rightarrow\pm\infty}}=0\tag{5}\end{align}

と表せる。

 現実の運動方程式は、運動方程式の形を微小変化させた時に、作用積分\(S\)が次のように極値をとる

\begin{align}\delta S=0\tag{6}\end{align}

と仮定する。もし、人間が考えた妄想の運動方程式なら、運動方程式の形を微小変化させても、作用積分\(S\)は極値をとらないということだ。これを作用原理、または最小作用の原理という。作用原理より

\begin{align}\delta S&=S[q+\delta q,\dot{q}+\delta\dot{q}]-S[q,\dot{q}]\\&=\int_{-\infty}^{\infty} \text{d}t\ L(q+\delta q,\dot{q}+\delta\dot{q},t)-\int_{-\infty}^{\infty} \text{d}t\ L(q,\dot{q},t)=0\tag{7}\end{align}

が成り立つ。ここで注意だが、ラグランジアン\(L\)は「変数である一般化座標\(q_{\scriptsize i}\)と一般化速度\(\dot{q_{\scriptsize i}}\)、時間\(t\)の値」によって値が変わる関数であったが、作用積分\(S\)は「関数としての一般化座標\(q_{\scriptsize i}\)と一般化速度\(\dot{q_{\scriptsize i}}\)の形」によって値が変わる汎関数である。汎関数とは関数の形によって値が変わるものであり、関数の変数は\((\circ)\)で表していたが、汎関数の関数は\([\circ]\)で表している。汎関数である作用積分\(S\)はラグランジアン\(L\)を時間積分したものであり、作用積分\(S\)は時間\(t\)に依存せず、関数である一般化座標\(q_{\scriptsize i}\)と一般化速度\(\dot{q_{\scriptsize i}}\)の汎関数である。

ラグランジュの運動方程式

 次の式

\begin{align}L(q+\delta q,\dot{q}+\delta\dot{q},t)=L(q,\dot{q},t)+\sum_{i=1}^n\left\{\delta q_{\scriptsize i}\frac{\partial L}{\partial q_{\scriptsize i}}+\delta \dot{q_{\scriptsize i}}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{\scriptsize i}}}\right\}\tag{8}\end{align}

を式(7)に代入すると

\begin{align}\delta S=\int_{-\infty}^{\infty}\text{d}t\ \sum_{i=1}^n\left\{\delta q_{\scriptsize i}\frac{\partial L}{\partial q_{\scriptsize i}}+\delta \dot{q_{\scriptsize i}}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{\scriptsize i}}}\right\}=0\tag{9}\end{align}

となり、積の微分公式を用いた次式

\begin{align}\delta \dot{q_{\scriptsize i}}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{\scriptsize i}}}=\left(\frac{\text{d}}{\text{d}t}\delta q_{\scriptsize i}\right)\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{\scriptsize i}}}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\delta q_{\scriptsize i}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{\scriptsize i}}}\right)-\delta q_{\scriptsize i}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{\scriptsize i}}}\tag{10}\end{align}

を式(9)に用いると次のようになる。

\begin{align}\delta S&=\int_{-\infty}^{\infty}\text{d}t\ \sum_{i=1}^n\left\{\delta q_{\scriptsize i}\left[\frac{\partial L}{\partial q_{\scriptsize i}}-\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\scriptsize i}}\right]+\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\delta q_{\scriptsize i}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\scriptsize i}}\right)\right\}\\&=\int_{-\infty}^{\infty}\text{d}t\ \sum_{i=1}^n\delta q_{\scriptsize i}\left[\frac{\partial L}{\partial q_{\scriptsize i}}-\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{\scriptsize i}}}\right]+\sum_{i=1}^n\left[\delta q_{\scriptsize i}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right]_{t=-\infty}^{t=\infty}\\&=\int_{-\infty}^{\infty}\text{d}t\ \sum_{i=1}^n\delta q_{\scriptsize i}\left[\frac{\partial L}{\partial q_{\scriptsize i}}-\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{\scriptsize i}}}\right]=0\tag{11}\end{align}

※※※2番目の等号では第2項を時間積分し、3番目の等号では境界条件の式(\(3\))と(\(4\))を用いて第2項をゼロとした。※※※

\(\delta q_i\)は任意の変分であるため、常に成り立つには

\begin{align}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\scriptsize i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{\scriptsize i}}=0\tag{12}\end{align}

である必要がある。この方程式がラグランジュ力学で基本となるラグランジュの運動方程式(オイラー-ラグランジュ方程式)である。この運動方程式を導出する際に、座標系によらないスカラーである作用積分\(S\)から作用原理で導出したため、この運動方程式はどんな座標でも成り立つ。

 定義式(2)では直接的(陽)にラグランジアン\(L(q,\dot{q_i},t)\)が時間\(t\)に依存している系を考えたが、直接的(陽)にはラグランジアン\(L(q,\dot{q_i})\)が時間\(t\)に依存しておらず、一般化座標\(q_i\)や一般化速度\(\dot{q_i}\)を通してのみ時間\(t\)に依存するような系もある。ラグランジアン\(L(q,\dot{q_i})\)が直接的(陽)には時間\(t\)の関数になっていないような系を自律系と呼び、ラグランジアン\(L(q,\dot{q_i},t)\)が直接的(陽)に時間\(t\)の関数になっている系を非自律系と呼ぶ。自律系は「保存力を受けている系」であり、非自律系は「外からの影響下にある系」である。非自律系の例としては、振り子を手で揺さぶる例が挙げられ、外力の値は振り子自体の運動によって決まるのではなく、外力は時間に依存した関数によって決まる。

ラグランジアンの具体的な形

 ラグランジュの運動方程式はデカルト座標でも成り立つはずである。一般化座標\(q_{\scriptsize i}\)と一般化速度\(\dot{q}_{\scriptsize i}\)をデカルト座標の座標\(x_{\scriptsize i}\)と速度\(\dot{x}_{\scriptsize i}\)で表すと

\begin{align}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{\scriptsize i}}-\frac{\partial L}{\partial x_{\scriptsize i}}=0\tag{13}\end{align}

となる。保存力を受けているニュートンの運動方程式を変形した式(1)

\begin{align}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{\scriptsize i}}+\frac{\partial V}{\partial x_{\scriptsize i}}=0\tag{1}\end{align}

と比較すると、デカルト座標において運動エネルギー\(T\)は速度\(\dot{x}_{\scriptsize i}\)のみの関数でポテンシャルエネルギー\(V\)は座標\(x_{\scriptsize i}\)のみの関数であることから、保存力を受けているデカルト座標でのラグランジアン\(L\)は

\begin{align}L=T-V\tag{14}\end{align}

であることがわかる。ラグランジアン\(L\)と運動エネルギー\(T\)、そしてポテンシャルエネルギー\(V\)はスカラーであるため、この関係式はデカルト座標だけではなく、どの座標系でも成立する。ただし、非自律系では成り立たない。

一般化運動量と一般化力

 デカルト座標において、保存力を受けているラグランジアン\(L\)を、速度\(\dot{x}_{\scriptsize i}\)で表した運動エネルギー\(T\) と座標\(x_i\)で表したポテンシャルエネルギー\(V\)で表すと

\begin{align}L= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^nm_i\dot{x_{\scriptsize i}}^2 -V(x)\tag{15}\end{align}

であり、これを速度\(\dot{x_i}\)で偏微分すると

\begin{align}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{\scriptsize i}}=m_i\dot{x}_{\scriptsize i}=p_i\tag{16}\end{align}

となって、運動量\(p_{\scriptsize i}\)になる。また、ラグランジアン\(L\)を座標\(x_i\)で偏微分すると

\begin{align}\frac{\partial L}{\partial x_{\scriptsize i}}=-\frac{\partial V}{\partial x_{\scriptsize i}}=F_i\tag{17}\end{align}

となって、力\(F_{\scriptsize i}\)となる。また、ニュートンの運動方程式

\begin{align}F_{\scriptsize i}=m_{\scriptsize i}a_{\scriptsize i}=m_{\scriptsize i}\ddot{x}_{\scriptsize i}\tag{18}\end{align}

より、運動量の時間微分\(\dot{p}_{\scriptsize i}\)は力\(F_{\scriptsize i}\)に等しい。

\begin{align}\frac{\partial L}{\partial x_{\scriptsize i}}=-\frac{\partial V}{\partial x_{\scriptsize i}}=F_{\scriptsize i}=\dot{p}_{\scriptsize i}\tag{19}\end{align}

 保存力を受けているか非保存力をうけているかに関わらず、デカルト座標におけるこの運動量と力を一般化して、座標系によらない一般化座標\(q_{\scriptsize i}\)に対する一般化運動量\(p_{\scriptsize i}\)と一般化力\(F_{\scriptsize i}\)を導入する。

\begin{align}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\scriptsize i}}=p_{\scriptsize i}\tag{20}\end{align}

\begin{align}\frac{\partial L}{\partial q_{\scriptsize i}}=F_{\scriptsize i}=\dot{p}_{\scriptsize i}\tag{21}\end{align}

この一般化運動量\(p_{\scriptsize i}\)と一般化力\(F_{\scriptsize i}\)は、保存力を受けているとき、デカルト座標では運動量と力に等しいが、その他の場合では等しくなるとは限らない。この一般化運動量についてはハミルトン力学で出番が来る。

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次ページでは、ラグランジアンの形が異なるが、同じ運動方程式を導く等価ラグランジアンについて調べていく。


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