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本ページでは…
本ページでは、マクスウェル方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)にゲージ固定項\(-\frac{1}{2}(\partial_\nu A^\nu)^2\)を加えることによって、ファインマンゲージ条件
\begin{align*}\partial_\mu \hat A^\mu\vert\varPsi\rangle=0\tag{9}\end{align*}
でゲージ固定されたマクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}+\partial^{\nu}(\partial_\mu A^\mu)&=0\end{align*}
が導かれることを確認する。また、ゲージ固定項\(-\frac{1}{2}(\partial_\nu A^\nu)^2\)を加えたラグランジアン密度\(\mathscr L\)から正準共役運動量が定義
\begin{align}\pi^\nu=-\partial_0 A^\nu\end{align}
でき、ゲージ場と正準共役運動量は第2量子化を行なえることを確認する。
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前ページでは、マクスウェル方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)にゲージ固定項\(-\frac{1}{2}(\partial_\nu A^\nu)^2\)を加えることによって、ローレンツゲージ固定されたマクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}+\partial^{\nu}(\partial_\mu A^\mu)&=0\end{align*}
が導かれることを確認した。また、ゲージ固定項\(-\frac{1}{2}(\partial_\nu A^\nu)^2\)を加えたラグランジアン密度\(\mathscr L\)から正準共役運動量が定義
\begin{align}\pi^\nu=-\partial_0 A^\nu\end{align}
でき、ゲージ場と正準共役運動量は第2量子化を行なえるが、ローレンツゲージ条件
\begin{align*}\partial_\mu A^\mu=0\end{align*}
は量子化できないことを確認した。
内容
ローレンツゲージ
前ページでは、マクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}&=0\tag{1}\end{align*}
を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)
\begin{align}\mathscr{L}&=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\tag{2}\end{align}
にゲージ固定項\(-\frac{1}{2}(\partial_\nu A^\nu)^2\)を加えると
\begin{align}\mathscr{L}&=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\frac{1}{2}(\partial_\mu A^\mu)^2\tag{3}\end{align}
となり、ローレンツゲージ固定されたマクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}+\partial^{\nu}(\partial_\mu A^\mu)&=0\tag{4}\end{align*}
が得られた。そして、ゲージ固定項を加えたラグランジアン密度\(\mathscr L\)から次の正準共役運動量
\begin{align}\pi^\nu=-\partial_0 A^\nu\tag{5}\end{align}
を定義でき、ゲージ場と正準共役運動量は第2量子化を行なえたが、ローレンツゲージ条件
\begin{align*}\partial_\mu A^\mu=0\tag{6}\end{align*}
は量子化することはできなかった。
この問題はどのようにしたら解決できるだろうか。古典論の観点から見ると、ローレンツゲージ固定されたマクスウェル方程式(4)
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}+\partial^{\nu}(\partial_\mu A^\mu)&=0\tag{4}\end{align*}
と元のマクスウェル方程式(1)
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}&=0\tag{1}\end{align*}
を一致させるにはローレンツゲージ条件
\begin{align*}\partial_\mu A^\mu=0\tag{6}\end{align*}
が必須である。一方、これから考える量子論では、古典論的な式(1)と式(4)を一致させる必要がないことに着目すれば解決策が一気に閃く。つまり、量子論において演算子化された式(4)
\begin{align*}\partial_\mu \hat F^{\mu\nu}+\partial^{\nu}(\partial_\mu \hat A^\mu)&=0\tag{7}\end{align*}
と演算子化された式(1)
\begin{align*}\partial_\mu \hat F^{\mu\nu}&=0\tag{8}\end{align*}
が一致すればよい(ここで、\(\hat F^{\mu\nu}=\partial^\mu \hat A^\nu-\partial^\nu \hat A^\mu\))。通常、演算子は物理状態\(\vert\varPsi\rangle\)に作用するため、次の関係
\begin{align*}\partial_\mu \hat A^\mu\vert\varPsi\rangle=0\tag{9}\end{align*}
が成り立てば式(7)と式(8)は一致し、この条件は量子論においてローレンツゲージ条件の代わりのゲージ固定条件として使える。
ファインマンゲージ
これまでの考えを一般化する。マクスウェル方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)にパラメーター\(\alpha\)を含むゲージ固定項\(-\frac{1}{2\alpha}(\partial_\nu A^\nu)^2\)を加えると
\begin{align}\mathscr{L}&=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\frac{1}{2\alpha}(\partial_\mu A^\mu)^2\tag{10}\end{align}
となり、オイラー-ラグランジュ方程式
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu A_\nu}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial A_\nu}=0\tag{11}\end{align}
に代入すると
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu A_\nu}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial A_\nu}&=-\partial_\mu F^{\mu\nu}-\frac{1}{\alpha}\partial^{\nu}(\partial_\mu A^\mu)\\&=0\tag{12}\end{align}
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu A_\nu}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial A_\nu}&=\partial_\mu\left\{\frac{\partial}{\partial \partial_\mu A_\nu}\left(-\frac{1}{4}F_{\rho\gamma}F^{\rho\gamma}-\frac{1}{2\alpha}(\partial_\rho A^\rho)^2\right)\right\}\\&=\partial_\mu\left\{\frac{\partial}{\partial \partial_\mu A_\nu}\left(-\frac{1}{4}\eta^{\rho\kappa}\eta^{\gamma\tau}F_{\rho\gamma}F_{\kappa\tau}-\frac{1}{2\alpha}(\eta^{\rho\gamma}\partial_\rho A_\gamma)^2\right)\right\}\\&=\partial_\mu\left\{-\frac{1}{4}\eta^{\rho\kappa}\eta^{\gamma\tau}\left(\frac{\partial F_{\rho\gamma}}{\partial \partial_\mu A_\nu}F_{\kappa\tau}+F_{\rho\gamma}\frac{\partial F_{\kappa\tau}}{\partial \partial_\mu A_\nu}\right)-\frac{1}{2\alpha}\frac{\partial (\eta^{\rho\gamma}\partial_\rho A_\gamma)^2}{\partial \partial_\mu A_\nu}\right\} \\&=\partial_\mu\left\{-\frac{1}{4}\eta^{\rho\kappa}\eta^{\gamma\tau}\left((\delta_\rho{}^\mu\delta_\gamma{}^\nu-\delta_\gamma{}^\mu\delta_\rho{}^\nu)F_{\kappa\tau}+F_{\rho\gamma}(\delta_\kappa{}^\mu\delta_\tau{}^\nu-\delta_\tau{}^\mu\delta_\kappa{}^\nu)\right)-\frac{1}{\alpha}\eta^{\rho\gamma}\delta_\rho{}^\mu\delta_\gamma{}^\nu(\eta^{\rho\gamma}\partial_\rho A_\gamma)\right\}\\&=\partial_\mu\left\{-\frac{1}{4}\left((\eta^{\mu\kappa}\eta^{\nu\tau}-\eta^{\nu\kappa}\eta^{\mu\tau})F_{\kappa\tau}+F_{\rho\gamma}(\eta^{\rho\mu}\eta^{\gamma\nu}-\eta^{\rho\nu}\eta^{\gamma\mu})\right)-\frac{1}{\alpha}\eta^{\mu\nu}(\partial_\rho A^\rho)\right)\\&=-\frac{1}{4}\partial_\mu\left(F^{\mu\nu}-F^{\nu\mu}+F^{\mu\nu}-F^{\nu\mu}\right)-\frac{1}{\alpha}\partial^{\nu}(\partial_\rho A^\rho)\\&=-\partial_\mu F^{\mu\nu}-\frac{1}{\alpha}\partial^{\nu}(\partial_\mu A^\mu)\\&=0\end{align}
2行目への変形では計量テンソルを用いて上付き添字を下付き添字に変え(以前のページを参照)、3行目への変形では積の微分公式を用い、4行目への変形では電磁場テンソル\(F_{\rho\gamma}\)の微分
\begin{align*}\frac{\partial\left(F_{\rho\gamma}\right)}{\partial \partial_\mu A_\nu}&=\frac{\partial\left(\partial_\rho A_\gamma\right)}{\partial \partial_\mu A_\nu}-\frac{\partial\left(\partial_\gamma A_\rho\right)}{\partial \partial_\mu A_\nu}\\&=\delta_\rho{}^\mu\delta_\gamma{}^\nu-\delta_\gamma{}^\mu\delta_\rho{}^\nu\end{align*}
を行ない、6行目への変形では電磁場テンソルの反対称性(以前のページを参照)
\begin{align*}F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu}\end{align*}
を用いた。
となって、新たな方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}+\frac{1}{\alpha}\partial^{\nu}(\partial_\mu A^\mu)&=0\tag{13}\end{align*}
が得られる。以後、元のマクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}&=0\tag{1}\end{align*}
に量子論的に一致するよう次のゲージ条件
\begin{align*}\frac{1}{\alpha}\partial_\mu \hat A^\mu\vert\varPsi\rangle=0\tag{14}\end{align*}
を課す。ここで、パラメーター\(\alpha\)はゲージ固定の強さを表しており、\(\alpha\)が十分大きいときはゲージ固定は弱く、\(\alpha\)が十分小さいとき(ランダウゲージと呼ぶ)はゲージ固定は強くなる。特に、\(\alpha\)が1のとき、ファインマンゲージと呼ばれ、ゲージ条件は
\begin{align*}\partial_\mu \hat A^\mu\vert\varPsi\rangle=0\tag{9}\end{align*}
となって、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)
\begin{align}\mathscr{L}&=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\frac{1}{2}(\partial_\mu A^\mu)^2\tag{3}\end{align}
はローレンツゲージ条件を課したときのラグランジアン密度\(\mathscr L\)と一致して計算が簡単になるため、以後、ファインマンゲージで話を進める。
ファインマンゲージでは、ローレンツゲージ条件のときの式をそのまま使うことができ、前ページで求めたようにマクスウェル方程式は
\begin{align*}\partial_\mu\partial^\mu A^\nu&=0\tag{15}\end{align*}
となって、質量がゼロの粒子におけるクライン-ゴルドン方程式と一致する。また、正準共役運動量\(\pi^\nu\)は
\begin{align}\pi^\nu=-\partial_0 A^\nu\tag{5}\end{align}
であり、ルジャンドル変換によってハミルトニアン\(H\)は
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(-\frac{1}{2}\partial_0A_\nu\partial^0A^\nu+\frac{1}{2}\partial_i A_\nu\partial^i A^\nu\right)\tag{16}\end{align*}
となる。
正準共役運動量\(\pi^\nu\)を定義できたため、ゲージ場の第2量子化を行なってみよう。場と正準共役運動量のポアソン括弧は
\begin{align}\left\{A_0(t,\boldsymbol x),\pi^0(t,\boldsymbol y)\right\}&=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{17}\\\left\{A_1(t,\boldsymbol x),\pi^1(t,\boldsymbol y)\right\}&=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{18}\\\left\{A_2(t,\boldsymbol x),\pi^2(t,\boldsymbol y)\right\}&=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{19}\\\left\{A_3(t,\boldsymbol x),\pi^3(t,\boldsymbol y)\right\}&=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{20}\end{align}
であった(以前のページを参照)ため、第1量子化と同様に次の正準交換関係
\begin{align}\left[\hat A_0(t,\boldsymbol x),\hat\pi^0(t,\boldsymbol y)\right]&=i\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{21}\\\left[\hat A_1(t,\boldsymbol x),\hat\pi^1(t,\boldsymbol y)\right]&=i\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{22}\\\left[\hat A_2(t,\boldsymbol x),\hat\pi^2(t,\boldsymbol y)\right]&=i\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{23}\\\left[\hat A_3(t,\boldsymbol x),\hat\pi^3(t,\boldsymbol y)\right]&=i\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{24}\end{align}
を満たす、場の演算子と正準共役運動量の演算子に置き換えることによって、場の量子論における正準量子化が行える(上記の正準交換関係以外はゼロとなる)。
次ページから…
次ページでは、実スカラー場の正準共役運動量\(\pi\)
\begin{align}\pi=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0\phi}=\partial^0\phi\end{align}
を求め、ルジャンドル変換
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ ((\partial^0\phi)\pi-\mathscr L)\end{align*}
によって実スカラー場のハミルトニアン
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ ((\partial^0\phi)\pi-\mathscr L)\\&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{m^2}{2}\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right)\end{align*}
を求める。
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